Câu hỏi:
16/05/2023 16,998
Cho tam giác abc vuông tại A, M là trung điểm của BC, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh \(DE = \frac{1}{2}BC\)
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành.
Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
Cho tam giác abc vuông tại A, M là trung điểm của BC, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh \(DE = \frac{1}{2}BC\)
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành.
Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC
Nên DM ⊥ AB và ME ⊥ AC, hay \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)
Xét tứ giác ADME có \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)
Suy ra ADME là hình chữ nhật.
b) Xét ΔABC vuông tại A có M là trung điểm BC
Suy ra \(AM = \frac{1}{2}BC\)
Vì ADME là hình chữ nhật có AM, DE là hai đường chéo, suy ra AM = DE
Mà \(AM = \frac{1}{2}BC\)
Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\).
c) Ta có AD ⊥ AC và ME ⊥ AC, suy ra AD // ME
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra E là trung điểm của AC
Xét tam giác AMC có E, Q lần lượt là trung điểm của AC, MC
Suy ra QE là đường trung bình
Do đó QE // AM, \(QE = \frac{1}{2}AM\) (1)
Ta có DM ⊥ AB và AB ⊥ AC
Suy ra DM // AC
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra D là trung điểm của AB
Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM
Suy ra DP là đường trung bình của ΔBAM
Do đó DP // AM và \(DP = \frac{1}{2}AM\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra DP // EQ, DP = EQ
Do đó DPQE là hình bình hành.
Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)
Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của BM, MC và M là trung điểm BC
Suy ra M là trung điểm PQ
Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ
Suy ra AM là đường trung bình của DPQE
Do đó AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F
Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O
Vậy tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì \(\widehat {APQ} = \widehat {PQE} = \widehat {QE{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{D}}P} = 90^\circ \)
Ta xét ΔBAM nếu DP ⊥ BM thì AM ⊥ BM
Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Suy ra ΔABC vuông cân tại A
Vậy để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì tam giác vuông ΔABC cần thêm điều kiện cân tại A.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) Ta có
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC} = a.a.c{\rm{os60}}^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).
b) Ta có
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = - BA.BC.cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - BA.BC.co{\rm{s60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{ - {a^2}}}{2}\).
c) Gọi E là trung điểm của BC.
Suy ra \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OE} \).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = 2\overrightarrow {OE} .\overrightarrow {CB} \)
\( = 2{\rm{O}}E.CB.co{\rm{s}}\left( {\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)
\( = 2{\rm{O}}E.CB.\cos 90^\circ = 0\).
d) Ta có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = AC.BC.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = AC.BC.co{\rm{s60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{{a^2}}}{2}\)
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = {\overrightarrow {AB} ^2} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - 6\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \)
\( = {a^2} + \frac{{3{{\rm{a}}^2}}}{2} + {a^2} - 3{{\rm{a}}^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Lời giải
Lời giải
Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc
⇔ a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
⇔ (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\end{array} \right.\)
+) TH1: a + b + c = 0
Suy ra a = – (b + c); b = – (a + c); c = – (b + a)
Thay vào P ta có
\(P = \left( {1 - \frac{{b + c}}{b}} \right)\left( {1 - \frac{{a + c}}{c}} \right)\left( {1 - \frac{{a + b}}{a}} \right)\)
\(P = \left( {1 - 1 - \frac{c}{b}} \right)\left( {1 - 1 - \frac{a}{c}} \right)\left( {1 - 1 - \frac{b}{a}} \right)\)
\(P = - \frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a} = - 1\)
+) TH2: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0
⇔ 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0
⇔ (a2 – 2ab + b2) + (c2 – 2bc + b2) + (a2 – 2ca + c2) = 0
⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2 = 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\a - c = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right.\) ⇔ a = b = c
Thay vào P ta có
P = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8.
Vậy P = –1 hoặc P = 8.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
Nhắn tin Zalo