Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ trung điểm H của đoạn OB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D.
a) Chứng minh HC = HD và tứ giác ODBC là hình thoi.
b) Tính số đo của \[\widehat {BOC}\].
c) Gọi M là điểm đối xứng của O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Tính MC theo R.
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt CD ở I. Chứng minh HI.HD + HB.HM = R2.
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ trung điểm H của đoạn OB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D.
a) Chứng minh HC = HD và tứ giác ODBC là hình thoi.
b) Tính số đo của \[\widehat {BOC}\].
c) Gọi M là điểm đối xứng của O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Tính MC theo R.
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt CD ở I. Chứng minh HI.HD + HB.HM = R2.
Quảng cáo
Trả lời:

Lời giải
a) Đường tròn (O) có AB là đường kính, CD là dây cung và AB ⊥ CD tại H.
Suy ra H là trung điểm của CD.
Do đó HC = HD.
Tứ giác ODBC có H là trung điểm của hai đường chéo OB và CD.
Suy ra tứ giác ODBC là hình bình hành.
Mà OB ⊥ CD tại H (giả thiết).
Do đó ODBC là hình thoi.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Ta có tứ giác ODBC là hình thoi (kết quả câu a).
Suy ra BC = OC.
Mà OB = OC = R.
Do đó BC = OB = OC = R.
Vì vậy ∆OBC đều nên \(\widehat {BOC} = 60^\circ \).
c) Ta có BC = OB (do ∆OBC đều) và OB = BM (do M là điểm đối xứng của O qua B).
Suy ra OB = BM = BC.
Do đó ∆OCM vuông tại C.
Vì vậy \(\widehat {OCM} = 90^\circ \).
Vậy MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O).
∆OCM vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:
\(MC = \sqrt {O{M^2} - O{C^2}} = \sqrt {4O{B^2} - O{C^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \).
Vậy \(MC = R\sqrt 3 \).
d) Ta có H là trung điểm OB. Suy ra \(OH = HB = \frac{{OB}}{2}\).
∆OCI vuông tại O có OH là đường cao: OH2 = HI.HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà HC = HD (do H là trung điểm của CD)
Suy ra OH2 = HI.HD (1)
∆OCM vuông tại C có CH là đường cao: CH2 = HO.HM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà HO = HB (do H là trung điểm của OB)
Suy ra CH2 = HB.HM (2)
∆OCH vuông tại H: OC2 = CH2 + OH2 (định lí Pythagore) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: OC2 = HB.HM + HI.HD.
Mà OC = R
Suy ra R2 = HI.HD + HB.HM.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
1) Ta có \(\widehat {OAM} = 90^\circ \) (do MA là tiếp tuyến của (O), A là tiếp điểm).
Suy ra ba điểm O, A, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM (1)
Lại có \(\widehat {OBM} = 90^\circ \) (do MB là tiếp tuyến của (O), B là tiếp điểm).
Suy ra ba điểm O, B, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM (2)
Từ (1), (2), ta được tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.
2) Đường tròn (O) có NP là dây cung.
Mà K là trung điểm của NP (giả thiết).
Suy ra OK ⊥ NP tại K hay \(\widehat {OKM} = 90^\circ \).
Do đó ba điểm O, K, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM.
Mà từ kết quả câu 1), ta có bốn điểm A, M, B, O cùng thuộc một đường tròn đường kính OM.
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn đường kính OM.
3) Từ kết quả câu 1), ta có tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Suy ra AB là dây cung của đường tròn đường kính OM.
Do đó OM ⊥ AB.
∆OAM vuông tại A có AI là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OA2 = OI.OM và OI.IM = IA2.
⇔ OI.OM = R2 và OI.IM = IA2.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
4) Ta có OA ⊥ AM (do AM là tiếp tuyến của (O) và BD ⊥ MA (giả thiết).
Suy ra OA // BD.
Chứng minh tương tự, ta được OB // AC.
Do đó tứ giác OAHB là hình bình hành.
Mà OA = OB = R.
Vậy tứ giác OAHB là hình thoi.
5) Ta có OH ⊥ AB (do tứ giác OAHB là hình thoi).
Mà OM ⊥ AB (theo kết quả câu 3).
Do đó OM ≡ OH.
Vậy ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6) Do d là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên mọi điểm đều nằm cùng một phía đối với d.
Ta có OAHB là hình thoi (kết quả câu 4).
Suy ra AH = OA = R.
Do đó khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A một khoảng cố định bằng R.
Vậy quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A, bán kính AH = R.
Lời giải
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có C = C’M ∩ (A’BC).
Suy ra \(\frac{{d\left( {M,\,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {C',\,\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{CM}}{{CC'}} = \frac{1}{2}\) (do M là trung điểm CC’).
Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a.
Suy ra AA’ ⊥ (ABC) và AA’ = AB = BC = a.
Ta có \({V_{C'.ABC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.CC'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}\)
\( = \frac{1}{6}.a.a.a.\sin 60^\circ = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
∆AA’B vuông tại A: \(A'B = \sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).
Chứng minh tương tự, ta được \(A'C = a\sqrt 2 \).
Nửa chu vi ∆A’BC là: \(p = \frac{{A'C + A'B + BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 + a\sqrt 2 + a}}{2} = \frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2}\).
Ta có \({S_{\Delta A'BC}} = \sqrt {p\left( {p - A'C} \right)\left( {p - A'B} \right)\left( {p - BC} \right)} \)
\( = \sqrt {\frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2}\left( {\frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2} - a\sqrt 2 } \right)\left( {\frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2} - a\sqrt 2 } \right)\left( {\frac{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)a}}{2} - a} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}\).
Ta có \(d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{C'.A'BC}}}}{{{S_{\Delta A'BC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Vì vậy \(d\left( {M,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C',\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt {21} }}{7} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Vậy ta chọn phương án B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.