Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C1, A1, B1 sao cho các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A1B1, B1C1, tại K và M tương ứng. Chứng minh rằng:...

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A1B1 và B1C1 lần lượt tại K1 và M1. Theo giả thiết: MK // AC Mà M1K1 // AC (theo cách vẽ) Suy ra: MK // M1K1. Xét tam giác B1K1M1 có MK // M1K1 suy ra: ( frac{{MO}}{{B{M_1}}} , = , , frac{{OK}}{{B{K_1}}} , )(*) Xét tam giác AB1C1 và tam giác BM1C1 có: ( widehat {A{C_1}{B_1}} = , widehat {B{C_1}{M_1}} )(2 góc đối đỉnh) ( widehat {A{B_1}{C_1}} = , widehat {B{M_1}{C_1}} )(2 góc so le trong vì AC // M1K1) Suy ra: ∆ AB1C1 ᔕ ∆ BM1C1 (g.g) Nên ( frac{{B{M_1}}}{{A{B_1}}} , = , frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}} )⇒ (B{M_1} = A{B_1} ,. , , frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}} )(1) Tương tự: ∆ CB1A1 ᔕ ∆ BK1A1 (g.g) Nên ( frac{{B{K_1}}}{{C{B_1}}} , = , frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}} )⇒ (B{K_1} = C{B_1} ,. , , frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}} )(2) Lấy (1) chia (2) ta được: ( frac{{B{M_1}}}{{B{K_1}}} , = frac{{A{B_1}}}{{B{C_1}}} ,. , , frac{{C{A_1}}}{{B{A_1}}} ,. , frac{{C{B_1}}}{{A{C_1}}} , , = , ,1 ) (áp dụng định lí Xê–va) Suy ra: BM1 = BK1 (**) Từ (*) và (**), ta có: OM = OK Vậy OM = OK.

Câu hỏi:

31/05/2023 365

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C₁, A₁, B₁ sao cho các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁ đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A₁B₁, B₁C₁, tại K và M tương ứng. Chứng minh rằng: OK = OM.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C1, A1, B1 sao cho các đường thẳng (ảnh 1)

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A₁B₁ và B₁C₁ lần lượt tại K₁ và M₁.

Theo giả thiết: MK // AC

Mà M₁K₁ // AC (theo cách vẽ)

Suy ra: MK // M₁K₁.

Xét tam giác B₁K₁M₁ có MK // M₁K₁ suy ra: \(\frac{{MO}}{{B{M_1}}}\, = \,\,\frac{{OK}}{{B{K_1}}}\,\)(*)

Xét tam giác AB₁C₁ và tam giác BM₁C₁ có:

\(\widehat {A{C_1}{B_1}} = \,\widehat {B{C_1}{M_1}}\)(2 góc đối đỉnh)

\(\widehat {A{B_1}{C_1}} = \,\widehat {B{M_1}{C_1}}\)(2 góc so le trong vì AC // M₁K₁)

Suy ra: ∆ AB₁C₁ᔕ ∆ BM₁C₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{M_1}}}{{A{B_1}}}\, = \,\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\)⇒ \(B{M_1} = A{B_1}\,.\,\,\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\)(1)

Tương tự: ∆ CB₁A₁ᔕ ∆ BK₁A₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{K_1}}}{{C{B_1}}}\, = \,\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\)⇒ \(B{K_1} = C{B_1}\,.\,\,\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\)(2)

Lấy (1) chia (2) ta được: \(\frac{{B{M_1}}}{{B{K_1}}}\, = \frac{{A{B_1}}}{{B{C_1}}}\,.\,\,\frac{{C{A_1}}}{{B{A_1}}}\,.\,\frac{{C{B_1}}}{{A{C_1}}}\,\, = \,\,1\) (áp dụng định lí Xê–va)

Suy ra: BM₁ = BK₁ (**)

Từ (*) và (**), ta có: OM = OK

Vậy OM = OK.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một phép chia có số chia là 5, số dư là 1. Để phép chia là phép chia hết thì cần thêm vào số bị chia bao nhiêu đơn vị?

Xem đáp án » 13/07/2024 30,053

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm N trên cạnh AB, tia CN cắt tia DA tại E: tia Cx vuông góc với tia CE, tia Cx cắt AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn EF.

a) CE = CF và M, B, D thẳng hàng.

b) Chứng minh \(\widehat {ACE}\,\, = \,\,\widehat {BCM}\).

Xem đáp án » 13/07/2024 9,036

Câu 3:

Hùng và Dũng có tất cả 45 viên bi. Nếu Hùng có thêm 5 viên bi thì Hùng có nhiều hơn Dũng 14 viên. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

Xem đáp án » 13/07/2024 8,746

Câu 4:

Cho hình thang OABC, M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \]và \[\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \,} \right)\].

Xem đáp án » 11/07/2024 7,334

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: AH = BC. sin B. cos B.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,509

Câu 6:

Tìm x biết 60 chia hết x , 150 chia hết x và x > 25.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,582

Câu 7:

Cho tam giác ABC thỏa mãn sin²a = sin²b + sin²c. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Biết AB = c; AC = b; BC = a.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,272

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C1, A1, B1 sao cho các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A1B1, B1C1, tại K và M tương ứng. Chứng minh rằng: OK = OM.

Bình luận

Một phép chia có số chia là 5, số dư là 1. Để phép chia là phép chia hết thì cần thêm vào số bị chia bao nhiêu đơn vị?

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm N trên cạnh AB, tia CN cắt tia DA tại E: tia Cx vuông góc với tia CE, tia Cx cắt AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn EF. a) CE = CF và M, B, D thẳng hàng. b) Chứng minh \(\widehat {ACE}\,\, = \,\,\widehat {BCM}\).

Hùng và Dũng có tất cả 45 viên bi. Nếu Hùng có thêm 5 viên bi thì Hùng có nhiều hơn Dũng 14 viên. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

Cho hình thang OABC, M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \]và \[\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \,} \right)\].

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: AH = BC. sin B. cos B.

Tìm x biết 60 chia hết x , 150 chia hết x và x > 25.

Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2a = sin2b + sin2c. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Biết AB = c; AC = b; BC = a.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C₁, A₁, B₁ sao cho các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁ đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A₁B₁, B₁C₁, tại K và M tương ứng. Chứng minh rằng: OK = OM.

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm N trên cạnh AB, tia CN cắt tia DA tại E: tia Cx vuông góc với tia CE, tia Cx cắt AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn EF.

a) CE = CF và M, B, D thẳng hàng.

b) Chứng minh \(\widehat {ACE}\,\, = \,\,\widehat {BCM}\).

Cho tam giác ABC thỏa mãn sin²a = sin²b + sin²c. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Biết AB = c; AC = b; BC = a.