Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C₁, A₁, B₁ sao cho các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁ đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A₁B₁, B₁C₁, tại K và M tương ứng. Chứng minh rằng: OK = OM.

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A₁B₁ và B₁C₁ lần lượt tại K­₁ và M₁.

Theo giả thiết: MK // AC

Mà M₁K₁ // AC (theo cách vẽ)

Suy ra: MK // M₁K₁.

Xét tam giác B₁K­₁M₁ có MK // M₁K₁ suy ra: \(\frac{{MO}}{{B{M_1}}}\, = \,\,\frac{{OK}}{{B{K_1}}}\,\)(*)

Xét tam giác AB₁C₁ và tam giác BM₁C₁ có:

\(\widehat {A{C_1}{B_1}} = \,\widehat {B{C_1}{M_1}}\)(2 góc đối đỉnh)

\(\widehat {A{B_1}{C_1}} = \,\widehat {B{M_1}{C_1}}\)(2 góc so le trong vì AC // M₁K₁)

Suy ra: ∆ AB₁C₁ ᔕ ∆ BM₁C₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{M_1}}}{{A{B_1}}}\, = \,\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\)⇒ \(B{M_1} = A{B_1}\,.\,\,\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\)(1)

Tương tự: ∆ CB₁A₁ ᔕ ∆ BK₁A₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{K_1}}}{{C{B_1}}}\, = \,\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\)⇒ \(B{K_1} = C{B_1}\,.\,\,\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\)(2)

Lấy (1) chia (2) ta được: \(\frac{{B{M_1}}}{{B{K_1}}}\, = \frac{{A{B_1}}}{{B{C_1}}}\,.\,\,\frac{{C{A_1}}}{{B{A_1}}}\,.\,\frac{{C{B_1}}}{{A{C_1}}}\,\, = \,\,1\) (áp dụng định lí Xê–va)

Suy ra: BM₁ = BK₁ (**)

Từ (*) và (**), ta có: OM = OK

Vậy OM = OK.