Câu hỏi:
13/07/2024 1,861
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh BE2 + CF2 ≥ EF2, khi nào dấu “=” xảy ra?
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh BE2 + CF2 ≥ EF2, khi nào dấu “=” xảy ra?
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét tam giác CFH và tam giác CAB có:
\(\widehat C\) chung
\(\widehat {CFH} = \widehat {CAB}\)(bằng 90 độ)
Suy ra: ∆CFH ᔕ ∆CAB (g.g)
Nên: \[\frac{{CF}}{{CA}} = \frac{{CH}}{{CB}}\,\,hay\,\,\frac{{CF}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\, \Rightarrow \,C{F^2} = \frac{{C{A^2}\,.\,C{H^2}\,}}{{C{B^2}}} = \frac{{C{H^3}\,}}{{CB}}\]( vì CA = CH.CB) (1)
Tương tự: ∆BEH ᔕ ∆BAC (g.g)
Suy ra: \[\frac{{BE}}{{BH}} = \frac{{BA}}{{BC}}\,\, \Rightarrow \,B{E^2} = \frac{{B{A^2}\,.\,B{H^2}\,}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{H^3}}}{{BC}}\](vì BA2 = BH. BC) (2)
TỪ (1) và (2) ta có:
\[\sqrt[3]{{B{E^2}}} + {\rm{ }}\sqrt[3]{{C{F^2}}} = \,\frac{{BH + CH}}{{\sqrt[3]{{BC}}}} = \sqrt[3]{{B{C^2}}}\]
Áp dụng bất đẳng thức: a3 + b3 ≥ \[\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}{4}\] ta có:
BE2 + CF2 ≥ \[\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{{B{E^2}}} + \sqrt[3]{{C{F^2}}}} \right)}^2}}}{4} = \frac{{B{C^2}}}{4}\]
MÀ AH ≤ \(\frac{1}{2}BC\)(vì AH luôn nhỏ hơn đường trung tuyến kẻ từ A xuống BC)
Suy ra: AH2 ≤ \(\frac{1}{4}B{C^2}\)
Mặt khác: AHEF là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) nên AH = EF
Vậy: BE2 + CF2 ≥ EF2
Dấu “=” khi tam giác ABC vuông cân tại A.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một phép chia có số chia là 5, số dư là 1. Để phép chia là phép chia hết thì cần thêm vào số bị chia bao nhiêu đơn vị?
Một phép chia có số chia là 5, số dư là 1. Để phép chia là phép chia hết thì cần thêm vào số bị chia bao nhiêu đơn vị?
Xem đáp án »
13/07/2024
19,923
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: AH = BC. sin B. cos B.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,569
Câu 3:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm N trên cạnh AB, tia CN cắt tia DA tại E: tia Cx vuông góc với tia CE, tia Cx cắt AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn EF.
a) CE = CF và M, B, D thẳng hàng.
b) Chứng minh \(\widehat {ACE}\,\, = \,\,\widehat {BCM}\).
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm N trên cạnh AB, tia CN cắt tia DA tại E: tia Cx vuông góc với tia CE, tia Cx cắt AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn EF.
a) CE = CF và M, B, D thẳng hàng.
b) Chứng minh \(\widehat {ACE}\,\, = \,\,\widehat {BCM}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,017
Câu 4:
Cho hình thang OABC, M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \]và \[\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \,} \right)\].
Cho hình thang OABC, M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \]và \[\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \,} \right)\].
Xem đáp án »
11/07/2024
4,785
Câu 5:
Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2a = sin2b + sin2c. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Biết AB = c; AC = b; BC = a.
Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2a = sin2b + sin2c. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Biết AB = c; AC = b; BC = a.
Xem đáp án »
13/07/2024
4,735
Câu 7:
Hùng và Dũng có tất cả 45 viên bi. Nếu Hùng có thêm 5 viên bi thì Hùng có nhiều hơn Dũng 14 viên. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
Hùng và Dũng có tất cả 45 viên bi. Nếu Hùng có thêm 5 viên bi thì Hùng có nhiều hơn Dũng 14 viên. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
Xem đáp án »
13/07/2024
3,485
về câu hỏi!