Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm. Kẻ dây cung DC vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh △ABC vuông và tính độ dài AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh tam giác CBE cân và \(\frac{{EC}}{{DH}} = \frac{{EA}}{{DB}}\).
c) Gọi I là trung điểm của EA; đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) và từ đó suy ra \(\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\).
d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB, HC, AF đồng quy.
Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm. Kẻ dây cung DC vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh △ABC vuông và tính độ dài AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh tam giác CBE cân và \(\frac{{EC}}{{DH}} = \frac{{EA}}{{DB}}\).
c) Gọi I là trung điểm của EA; đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) và từ đó suy ra \(\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\).
d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB, HC, AF đồng quy.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AB
Suy ra: ΔABC vuông tại C.
⇒ AC2 = AH.AB = (R – OH) . 2R = (4 – 1) . 2 . 4 = 24
⇔ AC = \(2\sqrt 6 \)(cm)
b) Xét tam giác vuông OHC và tam giác vuông OHD có:
Chung OH
OC = OD
Suy ra: ∆OHC = ∆OHD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ HC = HD
⇒ BH là là trung tuyến của ΔBCD mà BH cũng là đường cao
⇒ ΔBCD cân tại B
Ta có: AC ⊥ CB ⇒ ΔCAE vuông tại C
CD ⊥ AB ⇒ ΔHBC vuông tại H
Mà \(\widehat {CBH} = \widehat {EAC}\)(cùng phụ với \(\widehat {CAB}\))
Xét ∆CAE và ∆HBC có:
\(\widehat {ECA} = \widehat {CHB}\)= 90°
\(\widehat {EAC} = \widehat {CBH}\)(cùng bằng \(\frac{1}{2}\)cung AC)
Suy ra: ∆CAE ~ ∆HBC (g.g)
Suy ra: \(\frac{{AE}}{{BC}} = \frac{{EC}}{{HC}}\)
Mà ΔBCD cân tại B, BH là trung tuyến
⇒ BC = BD và HC = DH
Vậy \(\frac{{AE}}{{BD}} = \frac{{EC}}{{DH}}\).
c) ΔAOC cân tại O ⇒ \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\)
mà \(\widehat {OAC} = \widehat {CEI}\) (cùng phụ với \(\widehat {EAC}\))
⇒ \(\widehat {OCA} = \widehat {CEI}\)
ΔACE vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ CI = IE ⇒ ΔCIE cân tại I
⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {CEI}\)
⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {OCA}\)
Lại có \(\widehat {ICE} + \widehat {ICA}\)= 90°
⇒ \(\widehat {ICA} + \widehat {OCA}\)= 90°
⇒ \(\widehat {OCI}\)= 90°
⇒ CI là tiếp tuyến của (O)
⇒ \[\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\]= 90° (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
d, Gọi G = IB ∩ HC
Ta có: CG // BF (cùng ⊥ AB)
\(\frac{{IC}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)
Suy ra: \(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)
AI // BF (cùng ⊥ AB)
⇒ \[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]
Xét tam giác IAG và tam giác GBF có:
\[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]
\(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)
⇒ ΔAIG ᔕ ΔFBG (c.g.c)
⇒\[\widehat {IGA} = \widehat {BGF}\]
⇒ A, G, F thẳng hàng
⇒ 3 đường thẳng IB, HC, AF đồng quy tại G.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a;
Chiều dài hình chữ nhật là b (a,b>0)
Theo bài ta có phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a + b} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}80}\\{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}195}\end{array}} \right.\)
⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5a + 3b + 15\,\,{\rm{ = }}\,\,195}\end{array}} \right.\)
⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5\left( {a + b} \right) - 2b\,\,{\rm{ = }}\,\,180}\end{array}} \right.\]
⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{2b = 20}\end{array}} \right.\]
⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3{\rm{0}}}\\{b = 10}\end{array}} \right.\]
Vậy chiều dài là 30m và chiều rộng là chiều rộng là 10m.
Kích thước mảnh đất là:
30 . 10 = 300 (m2).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi số có 3 chữ số khác nhau là: \(\overline {abc} \)
Để được số chia hết cho 5 thì c = 0 hoặc c = 5
Với c = 0 thì b có 9 cách chọn
a có 8 cách chọn
Vậy có: 8.9.1 = 72 (số)
+ Với c = 5, c có 1 cách chọn
Chữ số a có 8 cách chọn (vì a khác 0)
b có 8 cách chọn
Vậy có: 8.8.1 = 64 (số)
Vậy lập được: 72 + 64 = 136 (số).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập