Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm. Kẻ dây cung DC vuông góc với AB tại H.

a) Chứng minh △ABC vuông và tính độ dài AC.

b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh tam giác CBE cân và \(\frac{{EC}}{{DH}} = \frac{{EA}}{{DB}}\).

c) Gọi I là trung điểm của EA; đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) và từ đó suy ra \(\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\).

d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB, HC, AF đồng quy.

a) ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AB

Suy ra: ΔABC vuông tại C.

⇒ AC² = AH.AB = (R – OH) . 2R = (4 – 1) . 2 . 4 = 24 

⇔ AC = \(2\sqrt 6 \)(cm)

b) Xét tam giác vuông OHC và tam giác vuông OHD có:

Chung OH

OC = OD

Suy ra: ∆OHC = ∆OHD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ HC = HD

⇒ BH là là trung tuyến của ΔBCD mà BH cũng là đường cao

⇒ ΔBCD cân tại B

Ta có: AC ⊥ CB ⇒ ΔCAE vuông tại C

CD ⊥ AB ⇒ ΔHBC vuông tại H

Mà \(\widehat {CBH} = \widehat {EAC}\)(cùng phụ với \(\widehat {CAB}\))

Xét ∆CAE và ∆HBC có:

\(\widehat {ECA} = \widehat {CHB}\)= 90°

\(\widehat {EAC} = \widehat {CBH}\)(cùng bằng \(\frac{1}{2}\)cung AC)

Suy ra: ∆CAE ~ ∆HBC (g.g)

Suy ra: \(\frac{{AE}}{{BC}} = \frac{{EC}}{{HC}}\)

Mà ΔBCD cân tại B, BH là trung tuyến

⇒ BC = BD và HC = DH

Vậy \(\frac{{AE}}{{BD}} = \frac{{EC}}{{DH}}\).

c) ΔAOC cân tại O ⇒ \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\)

 mà \(\widehat {OAC} = \widehat {CEI}\) (cùng phụ với \(\widehat {EAC}\))

⇒ \(\widehat {OCA} = \widehat {CEI}\)

ΔACE vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ CI = IE ⇒ ΔCIE cân tại I

⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {CEI}\)

⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {OCA}\)

Lại có \(\widehat {ICE} + \widehat {ICA}\)= 90°

⇒ \(\widehat {ICA} + \widehat {OCA}\)= 90°

⇒ \(\widehat {OCI}\)= 90°

⇒ CI là tiếp tuyến của (O)

⇒ \[\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\]= 90° (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

d, Gọi G = IB ∩ HC

Ta có: CG // BF (cùng ⊥ AB)

\(\frac{{IC}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)

Suy ra: \(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)

AI // BF (cùng ⊥ AB)

⇒ \[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]

Xét tam giác IAG và tam giác GBF có:

\[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]

\(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)

⇒ ΔAIG ᔕ ΔFBG (c.g.c)

⇒\[\widehat {IGA} = \widehat {BGF}\]

⇒ A, G, F thẳng hàng

⇒ 3 đường thẳng IB, HC, AF đồng quy tại G.