Câu hỏi:

19/08/2025 5,426

Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm. Kẻ dây cung DC vuông góc với AB tại H.

a) Chứng minh △ABC vuông và tính độ dài AC.

b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh tam giác CBE cân và \(\frac{{EC}}{{DH}} = \frac{{EA}}{{DB}}\).

c) Gọi I là trung điểm của EA; đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) và từ đó suy ra \(\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\).

d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB, HC, AF đồng quy.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm (ảnh 1)

a) ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AB

Suy ra: ΔABC vuông tại C.

⇒ AC² = AH.AB = (R – OH) . 2R = (4 – 1) . 2 . 4 = 24

⇔ AC = \(2\sqrt 6 \)(cm)

b) Xét tam giác vuông OHC và tam giác vuông OHD có:

Chung OH

OC = OD

Suy ra: ∆OHC = ∆OHD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ HC = HD

⇒ BH là là trung tuyến của ΔBCD mà BH cũng là đường cao

⇒ ΔBCD cân tại B

Ta có: AC ⊥ CB ⇒ ΔCAE vuông tại C

CD ⊥ AB ⇒ ΔHBC vuông tại H

Mà \(\widehat {CBH} = \widehat {EAC}\)(cùng phụ với \(\widehat {CAB}\))

Xét ∆CAE và ∆HBC có:

\(\widehat {ECA} = \widehat {CHB}\)= 90°

\(\widehat {EAC} = \widehat {CBH}\)(cùng bằng \(\frac{1}{2}\)cung AC)

Suy ra: ∆CAE ~ ∆HBC (g.g)

Suy ra: \(\frac{{AE}}{{BC}} = \frac{{EC}}{{HC}}\)

Mà ΔBCD cân tại B, BH là trung tuyến

⇒ BC = BD và HC = DH

Vậy \(\frac{{AE}}{{BD}} = \frac{{EC}}{{DH}}\).

c) ΔAOC cân tại O ⇒ \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\)

mà \(\widehat {OAC} = \widehat {CEI}\) (cùng phụ với \(\widehat {EAC}\))

⇒ \(\widehat {OCA} = \widehat {CEI}\)

ΔACE vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ CI = IE ⇒ ΔCIE cân tại I

⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {CEI}\)

⇒ \(\widehat {ICE} = \widehat {OCA}\)

Lại có \(\widehat {ICE} + \widehat {ICA}\)= 90°

⇒ \(\widehat {ICA} + \widehat {OCA}\)= 90°

⇒ \(\widehat {OCI}\)= 90°

⇒ CI là tiếp tuyến của (O)

⇒ \[\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\]= 90° (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

d, Gọi G = IB ∩ HC

Ta có: CG // BF (cùng ⊥ AB)

\(\frac{{IC}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)

Suy ra: \(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)

AI // BF (cùng ⊥ AB)

⇒ \[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]

Xét tam giác IAG và tam giác GBF có:

\[\widehat {AIG} = \widehat {GBF}\]

\(\frac{{IA}}{{CF}} = \frac{{IG}}{{GB}}\)

⇒ ΔAIG ᔕ ΔFBG (c.g.c)

⇒\[\widehat {IGA} = \widehat {BGF}\]

⇒ A, G, F thẳng hàng

⇒ 3 đường thẳng IB, HC, AF đồng quy tại G.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m, chiều dài tăng thêm 3m thì diện tích tăng 195 m². Tính kích thước của mảnh đất?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a;

Chiều dài hình chữ nhật là b (a,b>0)

Theo bài ta có phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a + b} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}80}\\{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}195}\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5a + 3b + 15\,\,{\rm{ = }}\,\,195}\end{array}} \right.\)

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5\left( {a + b} \right) - 2b\,\,{\rm{ = }}\,\,180}\end{array}} \right.\]

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{2b = 20}\end{array}} \right.\]

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3{\rm{0}}}\\{b = 10}\end{array}} \right.\]

Vậy chiều dài là 30m và chiều rộng là chiều rộng là 10m.

Kích thước mảnh đất là:

30 . 10 = 300 (m²).

Câu 2

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là: \(\overline {abc} \)

Để được số chia hết cho 5 thì c = 0 hoặc c = 5

Với c = 0 thì b có 9 cách chọn

a có 8 cách chọn

Vậy có: 8.9.1 = 72 (số)

+ Với c = 5, c có 1 cách chọn

Chữ số a có 8 cách chọn (vì a khác 0)

b có 8 cách chọn

Vậy có: 8.8.1 = 64 (số)

Vậy lập được: 72 + 64 = 136 (số).

Câu 3