Cho tam giác ABC. Gọi m_a là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.

Chứng minh \[{m_a} = \sqrt {\frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}} \]

Gọi M là trung điểm của BC

Þ AM là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A hay AM = m_a.

Đặt AB = c, BC = a, CA = b.

Kẻ BH ^ AM, CK ^ AM

Þ BH // CK

\[ \Rightarrow \frac{{BH}}{{CK}} = \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{MH}}{{MK}} = 1\] (áp dụng định lý Ta-lét)

Þ MH = MK

Ta có: BC² = (BM + MC)² = (2BM)² = 4BM²

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHB, ta có:

AB² = AH² + HB²

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông MHB, ta có:

BM² = HM² + HB²

Þ 2AB² – 2BM² = 2(AH² + HB²) – 2(HM² + HB²)

= 2AH² – 2HM² = 2(AH + MH)(AH – MH)

Þ 2AB² – 2BM² = 2. AM. (AH – MH) (1)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AKC, ta có:

AC² = AK² + KC²

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông MKC, ta có:

CM² = KM² + KC²

Þ 2AC² – 2CM² = 2(AK² + KC²) – 2(KM² + KC²)

= 2AK² – 2KM² = 2(AK + MK)(AK – MK)

Þ 2AC² – 2CM² = 2. AM. (AK + MK) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

2AB² – 2BM² + 2AC² – 2CM² = 2. AM. (AH – MH) + 2. AM. (AK + MK)

Þ 2AB² + 2AC² – 4BM² = 2. AM. (AH – MH + AK + MK)

Þ 2AB² + 2AC² – BC² = 2. AM. 2AM (vì MH = MK) = 4AM²

Þ 2c² + 2b² – a² = 4m_a² hay \[{m_a} = \sqrt {\frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}} \]

Vậy \[{m_a} = \sqrt {\frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}} \].