Cho hình thoi ABCD, đường cao BH = 3 cm với H thuộc AD. Điểm M nằm trong hình thoi có tổng các khoảng cách đến AB và AD là 3 cm. Chứng minh B, M, D thẳng hàng.

Kẻ ME ^ AB, MF ^ AD, MK ^ BH

Tứ giác HKMF có:

\[\widehat {KHF} = \widehat {HFM} = \widehat {HKM} = 90^\circ \]

Þ HKMF là hình chữ nhật nên HK = MF.

Theo đề bài:

ME + MF = 3 cm

BK + KH = BH = 3 cm

Þ BK = ME

Ta có:

\[\widehat {ABM} = \widehat {ADB}\] (vì ABCD là hình thoi)

MK // AD (vì cùng vuông góc với BH)

Þ \[\widehat {BMK} = \widehat {ADB}\] (hai góc đồng vị)

Þ \[\widehat {BMK} = \widehat {ABM}\](vì cùng bằng \[\widehat {ADB}\])

Xét ΔKBM và ΔEMB có:

BK = ME

\[\widehat {BMK} = \widehat {ABM}\]

\[\widehat {BKM} = \widehat {BEM} = 90^\circ \]

Þ ΔKBM = ΔEMB (cạnh góc vuông – góc nhọn)

\[ \Rightarrow \widehat {KBM} = \widehat {EMB}\]

Gọi O là giao điểm của KB và ME

Þ ΔOMB cân

Þ OM = OB

Mà ME = BK

Þ ME – OM = BK – OB

Þ OE = OK

\[ \Rightarrow \frac{{OE}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OB}}\]

Þ EK // BM (định lý Ta-let) (1)

Gọi EK cắt AC tại I, KM cắt AC tại J, AC cắt BD tại P

Xét ΔIKJ và ΔPMJ có:

\[\widehat {IKJ} = \widehat {JMP}\]

\[\widehat {IJK} = \widehat {MJP}\] (vì đối đỉnh)

Þ ΔIKJ ᔕ ΔPMJ (g.g)

\[ \Rightarrow \widehat I = \widehat P = 90^\circ \]

Þ EK ^ AC. Mà BD ^ AC

Þ EK // BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra B, M, D thẳng hàng

Vậy B, M, D thẳng hàng.