Chứng minh rằng x² + 5y² + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.

Đặt a + 1 = x²; 2a + 1 = y²;

a phải chẵn vì 2a = y² – 1 = (y – 1)(y + 1) suy ra 2a chia hết cho 8 vì y – 1 và y + 1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp

Vậy a chia hết cho 2. (1)

a = (x – 1)(x + 1) vì a là số chẵn nên suy ra a chia hết cho 8 do x – 1 và x + 1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp (2)

Ta cần chứng minh x không chia hết cho 3.

Giả sử x chia hết cho 3 ⇒ x = 3k

2(a + 1) –1 = 2(x – 1)(x + 1) –1 = 2(9k² – 1) – 1 = 18k² – 3

⇒ 2a + 1 chia hết cho 3 vô lý vì ta có 2(a + 1) chia hết cho 3 nhưng – 1 không chia hết cho 3 ⇒ x không chia hết cho 3 hay hoặc x – 1, hoặc x + 1 chia hết cho 3.

Vậy x chia 3 dư 1 hoặc x chia 3 dư 2 mà x là số chính phương nên x chia 3 dư 1.

Khi đó: a = x² – 1 chia hết cho 3 hay a chia hết cho 3 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: a chia hết cho 24.

Theo bài ra ta có:

4n + 9 ⋮ 2n + 1

⇔ 4n + 2 + 7 ⋮ 2n + 1

⇔ 2(2n + 1) +7 ⋮ 2n + 1

⇒ 7 ⋮ 2n + 1

Suy ra: 2n + 1 ∈ Ư(7) = {1; 7}

Vậy n ∈ {0; 3}.