Tính tổng: A = 12 + 22 + 32 + … + n2.

A = 12 + 22 + 32 + … + n2 A = (1 . 2 – 1) + (2 . 3 – 2) + (3 . 4 – 3) + … + [n(n + 1) – n] A = [1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1)] – (1 + 2 + 3 + … + n) Đặt B = 1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1) và C = 1 + 2 + 3 + … + n. + Ta tính tổng B: B = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + n(n + 1) Nhân 2 vế của B với 3 ta có: 3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 + ... + n(n + 1) . 3 3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . (4 – 1) + 3 . 4 . (5 – 2) + ... + n(n + 1)[(n + 2) – (n – 1)] 3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 – 1 . 2 . 3 + 3 . 4 . 5 – 2 . 3 . 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) – (n –1)n(n + 1) 3B = n (n + 1)(n + 2) B =nn+1n+23 + Ta tính tổng C: C = 1 + 2 + 3 + … + n Nhân 2 vế của C với 2 ta có: 2C = 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2 +…+ n . 2 2C = 1 . 2 + 2(3 – 1) + 3(4 – 2) +…+ {n.[(n + 1) – (n – 1)]} 2C = 1 . 2 – 1 . 2 + 2 . 3 – 2 . 3 + 3 . 4 – … – n(n – 1) + n (n + 1) 2C = [1 . 2 – 1 . 2] + [2 . 3 – 2 . 3] + [3 . 4 – 3 . 4] + … – n(n – 1) + n(n + 1) 2C = 0 + 0 + 0 + …. + n.(n + 1) 2C = n.(n + 1) C = nn+12 Do đó, A = B – C = nn+1n+23−nn+12 =2nn+1n+26−3nn+16. =2nn+1n+2−3nn+16 =nn+12n+2−36 =nn+12n+16 Vậy A =nn+12n+16 .

Câu hỏi:

25/06/2023 2,105

Tính tổng: A = 1² + 2² + 3² + … + n².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

A = 1² + 2² + 3² + … + n²

A = (1 . 2 – 1) + (2 . 3 – 2) + (3 . 4 – 3) + … + [n(n + 1) – n]

A = [1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1)] – (1 + 2 + 3 + … + n)

Đặt B = 1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1) và C = 1 + 2 + 3 + … + n.

+ Ta tính tổng B:

B = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + n(n + 1)

Nhân 2 vế của B với 3 ta có:

3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 + ... + n(n + 1) . 3

3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . (4 – 1) + 3 . 4 . (5 – 2) + ... + n(n + 1)[(n + 2) – (n – 1)]

3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 – 1 . 2 . 3 + 3 . 4 . 5 – 2 . 3 . 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) – (n –1)n(n + 1)

3B = n (n + 1)(n + 2)

B = $\frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$

+ Ta tính tổng C:

C = 1 + 2 + 3 + … + n

Nhân 2 vế của C với 2 ta có:

2C = 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2 +…+ n . 2

2C = 1 . 2 + 2(3 – 1) + 3(4 – 2) +…+ {n.[(n + 1) – (n – 1)]}

2C = 1 . 2 – 1 . 2 + 2 . 3 – 2 . 3 + 3 . 4 – … – n(n – 1) + n (n + 1)

2C = [1 . 2 – 1 . 2] + [2 . 3 – 2 . 3] + [3 . 4 – 3 . 4] + … – n(n – 1) + n(n + 1)

2C = 0 + 0 + 0 + …. + n.(n + 1)

2C = n.(n + 1)

C = $\frac{n (n + 1)}{2}$

Do đó, A = B – C = $\frac{n (n + 1) (n + 2)}{3} - \frac{n (n + 1)}{2}$

$= \frac{2 n (n + 1) (n + 2)}{6} - \frac{3 n (n + 1)}{6}$ .

$= \frac{2 n (n + 1) (n + 2) - 3 n (n + 1)}{6}$

$= \frac{n (n + 1) [2 (n + 2) - 3]}{6}$

$= \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Vậy A $= \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và cạnh BC = $\sqrt{3}$ . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: BC = $\sqrt{3}$ , góc A bằng 60°.

Theo định lý sin:

$\begin{array}{l} \frac{B C}{\sin A} = 2 R \\ \Rightarrow R = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin 60 °} = 1 \end{array}$

Câu 2

Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập {1; 2; 3…; 9} mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {1; 2; 3;…; 9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên.

Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ 2 và có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại.

Theo quy tắc nhân , ta có tất cả:

26 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 2340000 (biển số).

Câu 3