Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22010 + 22011. Hỏi số A + 8 có phải là số chính phương không?

Ta có : A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22010 + 22011 ⇒ A = 20 + 21 + + 22 + 23 + ... + 22010 + 22011 A có tất cả (2011 − 0) : 1 + 1 = 2012 số hạng. Mà 2012 ⋮ 2 ⇒ Ta sẽ gộp 2 số hạng của A là 1 tổng, ta có: A = (20 + 21) + (22 + 23) + ... + ( 22010 + 22011) ⇒ A = 1 ∙ (20 + 21) + 22 ∙ (20 + 21) + ... + 22010 ∙ (20 + 21) ⇒ A = (1 + 22 + ... + 22010) ∙ (20 + 21) ⇒ A = (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 ⇒ A + 8 = (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 + 8 Do 3 ⋮ 3 ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 ⋮ 3 ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 ≡ 0 (mod 3) Mà 8 ≡ 2 (mod 3) ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 + 8 ≡ 0 + 2 = 2 (mod 3) ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 + 8 chia 3 dư 2 ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 + 8 = 3k + 2 ⇒ A = 3k + 2 Mà số chính phương chỉ có thể có dạng 3k hoặc 3k + 1 ⇒ A không phải là số chính phương Vậy A không phải là số chính phương.

Câu hỏi:

25/06/2023 678

Cho A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰+ 2²⁰¹¹. Hỏi số A + 8 có phải là số chính phương không?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có :

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰+ 2²⁰¹¹

⇒ A = 2⁰ + 2¹ + + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰+ 2²⁰¹¹

A có tất cả (2011 − 0) : 1 + 1 = 2012 số hạng. Mà 2012 ⋮ 2

⇒ Ta sẽ gộp 2 số hạng của A là 1 tổng, ta có:

A = (2⁰ + 2¹) + (2² + 2³) + ... + ( 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹)

⇒ A = 1 ∙ (2⁰ + 2¹) + 2² ∙ (2⁰ + 2¹) + ... + 2²⁰¹⁰ ∙ (2⁰ + 2¹)

⇒ A = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ (2⁰ + 2¹)

⇒ A = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3

⇒ A + 8 = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8

Do 3 ⋮ 3

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 ⋮ 3

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 ≡ 0 (mod 3)

Mà 8 ≡ 2 (mod 3)

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 ≡ 0 + 2 = 2 (mod 3)

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 chia 3 dư 2

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 = 3k + 2

⇒ A = 3k + 2

Mà số chính phương chỉ có thể có dạng 3k hoặc 3k + 1

⇒ A không phải là số chính phương

Vậy A không phải là số chính phương.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và cạnh BC = $\sqrt{3}$ . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: BC = $\sqrt{3}$ , góc A bằng 60°.

Theo định lý sin:

$\begin{array}{l} \frac{B C}{\sin A} = 2 R \\ \Rightarrow R = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin 60 °} = 1 \end{array}$

Câu 2

Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập {1; 2; 3…; 9} mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {1; 2; 3;…; 9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên.

Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ 2 và có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại.

Theo quy tắc nhân , ta có tất cả:

26 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 2340000 (biển số).

Câu 3