Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22010 + 22011. Hỏi số A + 8 có phải là số chính phương không?

Ta có : A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22010 + 22011 ⇒ A = 20 + 21 + + 22 + 23 + ... + 22010 + 22011 A có tất cả (2011 − 0) : 1 + 1 = 2012 số hạng. Mà 2012 ⋮ 2 ⇒ Ta sẽ gộp 2 số hạng của A là 1 tổng, ta có: A = (20 + 21) + (22 + 23) + ... + ( 22010 + 22011) ⇒ A = 1 ∙ (20 + 21) + 22 ∙ (20 + 21) + ... + 22010 ∙ (20 + 21) ⇒ A = (1 + 22 + ... + 22010) ∙ (20 + 21) ⇒ A = (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 ⇒ A + 8 = (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 + 8 Do 3 ⋮ 3 ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 ⋮ 3 ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 ≡ 0 (mod 3) Mà 8 ≡ 2 (mod 3) ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 + 8 ≡ 0 + 2 = 2 (mod 3) ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 + 8 chia 3 dư 2 ⇒ (1 + 22 + ... + 22010) ∙ 3 + 8 = 3k + 2 ⇒ A = 3k + 2 Mà số chính phương chỉ có thể có dạng 3k hoặc 3k + 1 ⇒ A không phải là số chính phương Vậy A không phải là số chính phương.

Câu hỏi:

25/06/2023 695

Cho A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰+ 2²⁰¹¹. Hỏi số A + 8 có phải là số chính phương không?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có :

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰+ 2²⁰¹¹

⇒ A = 2⁰ + 2¹ + + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰+ 2²⁰¹¹

A có tất cả (2011 − 0) : 1 + 1 = 2012 số hạng. Mà 2012 ⋮ 2

⇒ Ta sẽ gộp 2 số hạng của A là 1 tổng, ta có:

A = (2⁰ + 2¹) + (2² + 2³) + ... + ( 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹)

⇒ A = 1 ∙ (2⁰ + 2¹) + 2² ∙ (2⁰ + 2¹) + ... + 2²⁰¹⁰ ∙ (2⁰ + 2¹)

⇒ A = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ (2⁰ + 2¹)

⇒ A = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3

⇒ A + 8 = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8

Do 3 ⋮ 3

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 ⋮ 3

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 ≡ 0 (mod 3)

Mà 8 ≡ 2 (mod 3)

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 ≡ 0 + 2 = 2 (mod 3)

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 chia 3 dư 2

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 = 3k + 2

⇒ A = 3k + 2

Mà số chính phương chỉ có thể có dạng 3k hoặc 3k + 1

⇒ A không phải là số chính phương

Vậy A không phải là số chính phương.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và cạnh BC = $\sqrt{3}$ . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: BC = $\sqrt{3}$ , góc A bằng 60°.

Theo định lý sin:

$\begin{array}{l} \frac{B C}{\sin A} = 2 R \\ \Rightarrow R = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin 60 °} = 1 \end{array}$

Câu 2

Cách cộng hai lũy thừa có cùng cơ số?

Xem đáp án

Lời giải

Muốn cộng hai luỹ thừa cùng cơ số, ta cộng số mũ với nhau và giữ nguyên cơ số.

a^m + aⁿ = a^{m + n}.

Câu 3