Cho tam giác ABC, M điểm bất kì, G là trọng tâm. Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

G là trọng tâm tam giác ABC nên GA→+GB→+GC→=0→ Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = MA→2+MB→2+MC→2 =MG→+GA→2+MG→+GB→2+MG→+GC→2=MG2+2MG→.GA→+GA2+MG2+2MG→.GB→+GB2+MG2+2MG→.GC→+GC2=3MG2+GA2+GB2+GC2+2MG→.GA→+GB→+GC→=3MG2+GA2+GB2+GC2+2MG→.0→ =3MG2+GA2+GB2+GC2 (đpcm) Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,071

Cho tam giác ABC, M điểm bất kì, G là trọng tâm. Chứng minh MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Ta có: MA² + MB² + MC² = ${\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

$= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2} = M G^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + G A^{2} + M G^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + G B^{2} + M G^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + G C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{0}$

$= 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ (đpcm)

Vậy MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đĩa xích của xe đạp có 80 răng, đĩa líp có 40 răng. Tính số truyền i và cho biết chi tiết nào quay nhanh hơn?

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng công thức ta có: $i = \frac{Ζ_{1}}{Ζ_{2}}$

Vậy tỉ số truyền ở đây là: $i = \frac{Ζ_{1}}{Ζ_{2}} = \frac{80}{20} = 4$ .

Vậy chi tiết đĩa líp quay nhanh hơn đĩa xích 4 lần.

Câu 2

Tìm số tự nhiên n sao cho n² + 3n là số chính phương.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt n² + 3n = k² $(k \in ℕ)$

Û 4n² + 12n + 9 – 9 = 4k²

Û (2n + 3)² – 4k²= 9

Û (2n + 3 – 2k)(2n + 3 + 2k) = 9

Dễ thấy 2n + 3 + 2k > 2n + 3 – 2k nên ta có:

$\{\begin{matrix} 2 n + 3 + 2 k = 9 \\ 2 n + 3 - 2 k = 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} k + n = 3 \\ n - k = - 1 \end{matrix}$

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} k = 2 \\ n = 1 \end{matrix}

Vậy n = 1.

Câu 3