Cho tam giác ABC, M điểm bất kì, G là trọng tâm. Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

G là trọng tâm tam giác ABC nên GA→+GB→+GC→=0→ Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = MA→2+MB→2+MC→2 =MG→+GA→2+MG→+GB→2+MG→+GC→2=MG2+2MG→.GA→+GA2+MG2+2MG→.GB→+GB2+MG2+2MG→.GC→+GC2=3MG2+GA2+GB2+GC2+2MG→.GA→+GB→+GC→=3MG2+GA2+GB2+GC2+2MG→.0→ =3MG2+GA2+GB2+GC2 (đpcm) Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,758

Cho tam giác ABC, M điểm bất kì, G là trọng tâm. Chứng minh MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Ta có: MA² + MB² + MC² = ${\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

$= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2} = M G^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + G A^{2} + M G^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + G B^{2} + M G^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + G C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{0}$

$= 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ (đpcm)

Vậy MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đĩa xích của xe đạp có 80 răng, đĩa líp có 40 răng. Tính số truyền i và cho biết chi tiết nào quay nhanh hơn?

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng công thức ta có: $i = \frac{Ζ_{1}}{Ζ_{2}}$

Vậy tỉ số truyền ở đây là: $i = \frac{Ζ_{1}}{Ζ_{2}} = \frac{80}{20} = 4$ .

Vậy chi tiết đĩa líp quay nhanh hơn đĩa xích 4 lần.

Câu 2

Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, (ảnh 2)

Phương trình Parabol (P) có dạng y = ax² + bx + c

(P) đi qua điểm A(0; 0), B(162; 0) và M(10; 43) nên ta có:

$\{\begin{matrix} c = 0 \\ 162^{2} . a + 162 b + c = 0 \\ 10^{2} . a + 10 b + c = 43 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} c = 0 \\ a = - \frac{43}{1520} \\ b = \frac{3483}{760} \end{matrix}$

$\Rightarrow (P) : y = - \frac{43}{1520} x^{2} + \frac{3483}{760} x$

Do đó chiều cao của cổng là:

$h = - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \approx 185, 6 (m)$

Vậy độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) khoảng 185,6 m.

Câu 3