Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1.

Ta có: aa3+b2+c=a1a+1+ca3+b2+c1a+1+c≤1+a+aca+b+c2=1+a+ac9 bb3+c2+a=b1b+1+ab3+c2+a1b+1+a≤1+b+baa+b+c2=1+b+ba9 ca3+b2+c=c1c+1+ba3+b2+c1c+1+b≤1+c+cba+b+c2=1+c+cb9 Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+a+b+c+ac+ba+cb9 ⇔aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+a+b+c+ac+ba+cb9 Mà 3ab+bc+ca≤a+b+c2=9⇒ab+bc+ca≤3 Khi đó aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+3+39=1 Như vậy ta có điều phải chứng minh: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1

Câu hỏi:

12/07/2024 2,200

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} = \frac{a (\frac{1}{a} + 1 + c)}{(a^{3} + b^{2} + c) (\frac{1}{a} + 1 + c)} \leq \frac{1 + a + a c}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + a + a c}{9}$

$\frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} = \frac{b (\frac{1}{b} + 1 + a)}{(b^{3} + c^{2} + a) (\frac{1}{b} + 1 + a)} \leq \frac{1 + b + b a}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + b + b a}{9}$

$\frac{c}{a^{3} + b^{2} + c} = \frac{c (\frac{1}{c} + 1 + b)}{(a^{3} + b^{2} + c) (\frac{1}{c} + 1 + b)} \leq \frac{1 + c + c b}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + c + c b}{9}$

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có:

$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + a + b + c + a c + b a + c b}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + (a + b + c) + (a c + b a + c b)}{9}$

Mà $3 (a b + b c + c a) \leq {(a + b + c)}^{2} = 9 \Rightarrow a b + b c + c a \leq 3$

Khi đó $\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + 3 + 3}{9} = 1$

Như vậy ta có điều phải chứng minh:

$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ xy + yz + zx;

Xem đáp án » 12/07/2024 5,834

Câu 2:

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m² thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Xem đáp án » 12/07/2024 4,958

Câu 3:

Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n thuộc ℕ).

Xem đáp án » 12/07/2024 3,751

Câu 4:

Một phép chia có số dư là số dư lớn nhất có thể có trong phép chia. Nếu gấp cả số bị chia và số chia lên 4 lần thì được phép chia mới có thương là 25 và số dư là 24. Tìm số bị chia và số chia.

Xem đáp án » 11/07/2024 3,448

Câu 5:

Tính $27^{4} : 9^{3}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 3,083

Câu 6:

Số A chia cho 21 dư 7. Hỏi a phải thay đổi thế nào để được phép chia không còn dư và thương giảm đi 3 đơn vị (Số chia vẫn là 21).

Xem đáp án » 12/07/2024 2,768

Câu 7:

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c²= c(a + b) + ab.

Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Xem đáp án » 30/06/2023 2,418

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP