Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1.

Ta có: aa3+b2+c=a1a+1+ca3+b2+c1a+1+c≤1+a+aca+b+c2=1+a+ac9 bb3+c2+a=b1b+1+ab3+c2+a1b+1+a≤1+b+baa+b+c2=1+b+ba9 ca3+b2+c=c1c+1+ba3+b2+c1c+1+b≤1+c+cba+b+c2=1+c+cb9 Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+a+b+c+ac+ba+cb9 ⇔aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+a+b+c+ac+ba+cb9 Mà 3ab+bc+ca≤a+b+c2=9⇒ab+bc+ca≤3 Khi đó aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+3+39=1 Như vậy ta có điều phải chứng minh: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1

Câu hỏi:

12/07/2024 1,889

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} = \frac{a (\frac{1}{a} + 1 + c)}{(a^{3} + b^{2} + c) (\frac{1}{a} + 1 + c)} \leq \frac{1 + a + a c}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + a + a c}{9}$

$\frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} = \frac{b (\frac{1}{b} + 1 + a)}{(b^{3} + c^{2} + a) (\frac{1}{b} + 1 + a)} \leq \frac{1 + b + b a}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + b + b a}{9}$

$\frac{c}{a^{3} + b^{2} + c} = \frac{c (\frac{1}{c} + 1 + b)}{(a^{3} + b^{2} + c) (\frac{1}{c} + 1 + b)} \leq \frac{1 + c + c b}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + c + c b}{9}$

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có:

$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + a + b + c + a c + b a + c b}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + (a + b + c) + (a c + b a + c b)}{9}$

Mà $3 (a b + b c + c a) \leq {(a + b + c)}^{2} = 9 \Rightarrow a b + b c + c a \leq 3$

Khi đó $\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + 3 + 3}{9} = 1$

Như vậy ta có điều phải chứng minh:

\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ xy + yz + zx;

Xem đáp án » 12/07/2024 5,007

Câu 2:

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m² thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Xem đáp án » 12/07/2024 4,115

Câu 3:

Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n thuộc ℕ).

Xem đáp án » 12/07/2024 3,123

Câu 4:

Tính $27^{4} : 9^{3}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,977

Câu 5:

Một phép chia có số dư là số dư lớn nhất có thể có trong phép chia. Nếu gấp cả số bị chia và số chia lên 4 lần thì được phép chia mới có thương là 25 và số dư là 24. Tìm số bị chia và số chia.

Xem đáp án » 11/07/2024 2,757

Câu 6:

Số A chia cho 21 dư 7. Hỏi a phải thay đổi thế nào để được phép chia không còn dư và thương giảm đi 3 đơn vị (Số chia vẫn là 21).

Xem đáp án » 12/07/2024 2,036

Câu 7:

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c²= c(a + b) + ab.

Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Xem đáp án » 30/06/2023 2,015

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP