Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1.

Ta có: aa3+b2+c=a1a+1+ca3+b2+c1a+1+c≤1+a+aca+b+c2=1+a+ac9 bb3+c2+a=b1b+1+ab3+c2+a1b+1+a≤1+b+baa+b+c2=1+b+ba9 ca3+b2+c=c1c+1+ba3+b2+c1c+1+b≤1+c+cba+b+c2=1+c+cb9 Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+a+b+c+ac+ba+cb9 ⇔aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+a+b+c+ac+ba+cb9 Mà 3ab+bc+ca≤a+b+c2=9⇒ab+bc+ca≤3 Khi đó aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤3+3+39=1 Như vậy ta có điều phải chứng minh: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1

Câu hỏi:

12/07/2024 1,419

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} = \frac{a (\frac{1}{a} + 1 + c)}{(a^{3} + b^{2} + c) (\frac{1}{a} + 1 + c)} \leq \frac{1 + a + a c}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + a + a c}{9}$

$\frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} = \frac{b (\frac{1}{b} + 1 + a)}{(b^{3} + c^{2} + a) (\frac{1}{b} + 1 + a)} \leq \frac{1 + b + b a}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + b + b a}{9}$

$\frac{c}{a^{3} + b^{2} + c} = \frac{c (\frac{1}{c} + 1 + b)}{(a^{3} + b^{2} + c) (\frac{1}{c} + 1 + b)} \leq \frac{1 + c + c b}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + c + c b}{9}$

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có:

$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + a + b + c + a c + b a + c b}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + (a + b + c) + (a c + b a + c b)}{9}$

Mà $3 (a b + b c + c a) \leq {(a + b + c)}^{2} = 9 \Rightarrow a b + b c + c a \leq 3$

Khi đó $\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + 3 + 3}{9} = 1$

Như vậy ta có điều phải chứng minh:

\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1

NHÀ SÁCH VIETJACK

Xem Thêm Kho Sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

Đã bán 152

₫29.000

Hà Nội

Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Đã bán 114

₫150.000

Hà Nội

(Chương trình mới) - Sách lớp 10, 11 Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa 3 bộ sách KNTT, CTST, CD

Đã bán 132

₫85.000

Hà Nội

Sách - Trọng tâm kiến thức lớp 6,7,8 dùng cho 3 sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack

Đã bán 47

₫80.000

Hà Nội

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m² thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Xem đáp án » 12/07/2024 3,488

Câu 2:

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ xy + yz + zx;

Xem đáp án » 12/07/2024 3,205

Câu 3:

Tính $27^{4} : 9^{3}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,623

Câu 4:

Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n thuộc ℕ).

Xem đáp án » 12/07/2024 1,926

Câu 5:

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c²= c(a + b) + ab.

Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Xem đáp án » 30/06/2023 1,478

Câu 6:

Số A chia cho 21 dư 7. Hỏi a phải thay đổi thế nào để được phép chia không còn dư và thương giảm đi 3 đơn vị (Số chia vẫn là 21).

Xem đáp án » 12/07/2024 1,452

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 71,840 lượt thi Thi thử
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 51,501 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 41,640 lượt thi Thi thử
200 Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 33,220 lượt thi Thi thử
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 30,668 lượt thi Thi thử
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án

86 đề 26,675 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 26,420 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 25,511 lượt thi Thi thử
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

98 đề 25,390 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 23,629 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Gọi 084 283 45 85

Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: aa3+b2+c+bb3+c2+a+cc3+a2+b≤1.

NHÀ SÁCH VIETJACK

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng 23 chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m2 thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có: a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx;

Tính 274:93 .

Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n thuộc ℕ).

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c2 = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Số A chia cho 21 dư 7. Hỏi a phải thay đổi thế nào để được phép chia không còn dư và thương giảm đi 3 đơn vị (Số chia vẫn là 21).

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1$ .

Môt thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 400m, chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài. Người ta cấy lúa ở thửa ruộng đó ,tính ra cứ 100m² thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta luôn có:

a) x² + y²+ z² ≥ xy + yz + zx;

Tính $27^{4} : 9^{3}$ .

Cho a,b,c là các số tự nhiên, thỏa mãn a – b là số nguyên tố, 3c²= c(a + b) + ab.

Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.