Câu hỏi:
30/06/2023 1,765Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \). Các tia phân giác của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cắt nhau ở I, cắt cạnh AC, AB ở D và E. Tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt BC ở F.
a) Tính \(\widehat {BIC}\).
b) Chứng minh ID = IE = IF.
c) Chứng minh tam giác DEF đều.
d) Chứng minh I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta có BI, CI lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\).
Suy ra \(2\widehat {IBC} = \widehat {ABC}\) và \(2\widehat {ICB} = \widehat {ACB}\).
∆ABC, có: \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Do đó \(2\left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = 120^\circ \).
Vì vậy \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 120^\circ :2 = 60^\circ \).
∆BIC, có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Vậy \(\widehat {BIC} = 120^\circ \).
b) Ta có \(\widehat {EIB} + \widehat {BIC} = 180^\circ \) (kề bù).
Suy ra \(\widehat {EIB} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {DIC} = 60^\circ \).
Ta có IF là tia phân giác của \(\widehat {BIC}\).
Suy ra \(\widehat {BIF} = \widehat {FIC} = \frac{{\widehat {BIC}}}{2} = 60^\circ \).
Xét ∆IFC và ∆IDC, có:
IC là cạnh chung;
\(\widehat {ICF} = \widehat {ICD}\) (CI là tia phân giác của \(\widehat {FCD}\));
\(\widehat {FIC} = \widehat {DIC}\,\,\left( { = 60^\circ } \right)\).
Do đó ∆IFC = ∆IDC (g.c.g).
Suy ra IF = ID (cặp cạnh tương ứng) (1)
Chứng minh tương tự, ta được: IE = IF (2)
Từ (1), (2), ta thu được ID = IE = IF.
c) Ta có:
⦁ \(\widehat {EIF} = \widehat {EIB} + \widehat {BIF} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
⦁ \(\widehat {DIF} = \widehat {DIC} + \widehat {CIF} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
Xét ∆EIF và ∆DIF, có:
IF là cạnh chung;
\(\widehat {EIF} = \widehat {DIF}\,\,\left( { = 120^\circ } \right)\);
IE = ID (kết quả câu b).
Do đó ∆EIF = ∆DIF (c.g.c).
Suy ra EF = DF (cặp cạnh tương ứng) (3)
Ta có \(\widehat {DIE} = \widehat {BIC} = 120^\circ \) (đối đỉnh).
Xét ∆DIE và ∆FIE, có:
EI là cạnh chung;
ID = IF (kết quả câu b);
\(\widehat {DIE} = \widehat {FIE}\,\,\left( { = 120^\circ } \right)\).
Do đó ∆DIE = ∆FIE (c.g.c).
Suy ra DE = EF (cặp cạnh tương ứng) (4)
Từ (3), (4), suy ra DE = EF = DF.
Vậy tam giác DEF đều.
d) Tam giác ABC có hai đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I.
Suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC (5)
Ta có ∆EIF = ∆DIF (chứng minh trên).
Suy ra \(\widehat {EFI} = \widehat {DFI}\) (cặp góc tương ứng).
Do đó FI là đường phân giác của tam giác DEF.
Chứng minh tương tự, ta được EI là đường phân giác của tam giác DEF.
Tam giác DEF có hai đường phân giác FI, EI cắt nhau tại I.
Suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác DEF (6)
Từ (5), (6), ta thu được I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.
c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng:
a) ∆BAE = ∆CAD;
b) ∆MDC cân;
c) HK = HC.
Câu 4:
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}\).
Câu 5:
Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và phải có mặt các chữ số 1, 2, 3 sao cho chúng không đứng cạnh nhau?
Câu 6:
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α:
a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \).
b) 2(sin6α + cos6α) – 3(cos4α + sin4α).
c) \(\frac{2}{{\tan \alpha - 1}} + \frac{{\cot \alpha + 1}}{{\cot \alpha - 1}}\,\,\,\left( {\tan \alpha \ne 1} \right)\).
Câu 7:
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì?
c) Cho AC = 6 cm, BD = 8 cm. Hãy tính diện tích tứ giác MNPQ.
về câu hỏi!