Câu hỏi:
30/06/2023 284Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O.
a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE.
c) Cho AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính diện tích tam giác OAD.
d) Đường thẳng OI cắt AB tại K. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Tứ giác AECD, có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại O.
Mà O là trung điểm của AC (giả thiết) và O cũng là trung điểm của DE (điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O).
Suy ra tứ giác AECD là hình bình hành.
Lại có \[\widehat {ADC} = 90^\circ \] (AD ⊥ BC).
Vậy tứ giác AECD là hình chữ nhật.
b) Tam giác ABC cân tại A có AD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.
Suy ra D là trung điểm BC.
Do đó BD = CD (1)
Vì AECD là hình chữ nhật nên AE // CD và AE = CD (2)
Từ (1), (2), suy ra AE = BD.
Tứ giác AEDB, có: AE // BD và AE = CD (chứng minh trên).
Suy ra tứ giác AEDB là hình bình hành.
Mà I là trung điểm của AD.
Vậy I cũng là trung điểm của BE.
c) Ta có D là trung điểm BC. Suy ra \(BD = CD = \frac{{BC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\) (cm).
Tam giác ACD có O, I lần lượt là trung điểm của AC, AD.
Suy ra OI là đường trung bình của tam giác ACD.
Do đó OI // CD và \(OI = \frac{{CD}}{2} = \frac{6}{2} = 3\) (cm).
Tam giác ABD vuông tại D: AD2 = AB2 – BD2 = 102 – 62 = 64.
Suy ra AD = 8 (cm).
Ta có OI // CD (chứng minh trên) và CD ⊥ AD (tam giác ABC có AD là đường cao).
Suy ra OI ⊥ AD.
Diện tích tam giác OAD là: \({S_{\Delta OAD}} = \frac{1}{2}OI.AD = \frac{1}{2}.3.8 = 12\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Vậy diện tích tam giác OAD bằng 12 cm2.
d) Vì tứ giác AEDB là hình bình hành nên AK // DE.
Suy ra tứ giác AEDK là hình thang.
Do đó để AKDE là hình thang cân thì \(\widehat {AED} = \widehat {KDE}\) (hai góc kề một đáy bằng nhau).
Ta có tứ giác AEDB là hình bình hành (chứng minh trên).
Suy ra OD // AK (3)
Tam giác ABC có OK // BC (chứng minh trên) và O là trung điểm AC (giả thiết).
Suy ra OK là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó K là trung điểm của AB.
Tam giác ABC có D, K lần lượt là trung điểm của BC, AB.
Suy ra DK là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó DK // AO (4)
Từ (3), (4), suy ra tứ giác AODK là hình bình hành.
Khi đó \(\widehat {KAO} = \widehat {KDO}\) (hai góc đối nhau).
Mà \(\widehat {AED} = \widehat {ABD}\) (hai góc đối nhau trong hình bình hành AEDB).
Do đó nếu \(\widehat {AED} = \widehat {KDE}\) thì \(\widehat {ABD} = \widehat {KAO}\).
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tam giác ABC cân tại A).
Suy ra \[\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].
Khi đó tam giác ABC đều.
Vậy tam giác ABC là tam giác đều thì tứ giác AEDK là hình thang cân.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
a) Chứng minh rằng BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến.
c) Chứng minh rằng \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\).
d) Tia OA cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng FA.CH = HF.CA.
Câu 2:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC.BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Câu 3:
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó thì nó tăng 4106 đơn vị.
Câu 4:
Lấy điểm A trên (O; R), vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B. Trên (O; R) lấy điểm C sao cho BC = AB.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b) Vẽ đường kính AD của (O), kẻ CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng CD // OB và BC.CD = CK.OB.
c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp ∆BEF. Chứng minh .
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SB với đáy (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC tính theo a.
Câu 6:
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c thỏa mãn \[\frac{{a + b}}{6} = \frac{{b + c}}{5} = \frac{{c + a}}{7}\]. Tính giá trị của biểu thức T = cosA + 2cosB + 3cosC.
Câu 7:
Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 và đường thẳng (d’): y = (m + 1)x + 5 (m là tham số, m ≠ –1).
a) Vẽ đường thẳng (d) trên hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’).
c) Tìm m để hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung.
về câu hỏi!