Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.

a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông.

b) Nối CE cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ⊥ CD.

c) Biết diện tích của hình lục giác ABFCDE bằng 6. Tính độ dài cạnh của hình vuông ABCD.

d) Lấy K là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi G là trọng tâm của ∆AIK. Chứng minh rằng điểm G thuộc một đường thẳng cố định khi K di chuyển trên cạnh BC.

a) Gọi T là giao điểm của AD và EO; H là giao điểm của BC và OF.

Vì E là điểm đối xứng của O qua AD nên AD là đường trung trực của đoạn OE.

Khi đó AO = AE.

Vì vậy tam giác OAE cân tại A.

Tam giác OAE cân tại A có AT là đường trung trực.

Suy ra AT cũng là đường phân giác của tam giác OAE.

Do đó \(\widehat {EAT} = \widehat {TAO} = 45^\circ \) (do ABCD là hình vuông).

Vì vậy \(\widehat {EAO} = \widehat {EAT} + \widehat {TAO} = 90^\circ \).

Chứng minh tương tự, ta được: \(\widehat {EDO} = 90^\circ \).

Xét tứ giác AODE, có: \(\widehat {EAO} = \widehat {EDO} = 90^\circ \) (chứng minh trên) và \(\widehat {AOD} = 90^\circ \) (ABCD là hình vuông).

Suy ra tứ giác AODE là hình chữ nhật.

Mà OA = OD (ABCD là hình vuông tâm O).

Vậy tứ giác AODE là hình vuông.

Chứng minh tương tự, ta được: tứ giác BOCF là hình vuông.

b) Ta có E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.

Suy ra OE ⊥ AD và OF ⊥ BC.

Mà AD // BC (ABCD là hình vuông).

Do đó OE ⊥ BC.

Mà OF ⊥ BC (chứng minh trên).

Vì vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét ∆ECF và ∆FDE, có:

EF là cạnh chung;

FC = DE (OC = OD);

\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \).

Do đó ∆ECF = ∆FDE (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {FEC} = \widehat {DFE}\) (cặp góc tương ứng).

Vì vậy tam giác EIF cân tại I.

Mà O là trung điểm của EF (OE = AD; OF = BC và AD = BC).

Suy ra OI là vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác EIF.

Do đó OI ⊥ EF     (1)

Ta có EF ⊥ AD (chứng minh trên) và AD ⊥ BC (ABCD là hình vuông).

Suy ra EF // CD    (2)

Từ (1), (2), ta thu được OI ⊥ CD.

c) Ta có AODE là hình vuông (câu a).

Suy ra S_AOD = S_AED (tính chất hình vuông)    (3)

Chứng minh tương tự, ta được: S_BFC = S_BOC    (4)

Xét ∆AOD và ∆AOB, có:

AB = AD (ABCD là hình vuông);

AO là cạnh chung;

OB = OD (O là trung điểm BD).

Do đó ∆AOD = ∆AOB (c.c.c).

Suy ra S_AOD = S_AOB    (5)

Chứng minh tương tự, ta được S_DOC = S_BOC và S_AOB = S_BOC     (6)

Từ (3), (4), (5), (6), suy ra S_AOD = S_AED = S_BFC = S_BOC = S_AOB = S_DOC.

Theo đề ta có S_ABFCDE = 6.

Suy ra 6S_ABO = 6.

Do đó S_ABO = 1.

Vì vậy S_ABCD = S_ABO + S_AOD + S_DOC + S_BOC = 4S_ABO = 4.

Suy ra AB² = 4.

Vậy AD = CD = BC = AB = 2.

d) Gọi M là giao điểm của OI và AB; N là giao điểm của IM và AK.

Ta có OE = OF (O là trung điểm của EF).

Suy ra 2OT = 2OH.

Vì vậy OT = OH.

Vì OI ⊥ CD và CD // AB nên OI ⊥ AB hay OM ⊥ AB.

Mà O là trung điểm của HT (OT = OH).

Suy ra M là trung điểm của AB.

Tam giác ABK, có: MA = MB (M là trung điểm của AB) và MN // BK (cùng vuông góc với AB).

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABK.

Suy ra N là trung điểm AK.

Vì vậy IN là đường trung tuyến của tam giác AIK.

Mà G là trọng tâm của tam giác AIK.

Khi đó G ∈ IN hay G ∈ IM.

Mà I, M cố định.

Vậy điểm G thuộc một đường thẳng cố định IM khi K di chuyển trên cạnh BC.