Cho tam giác ABC vuông tại B, đường trung tuyến BM, đường cao BH. Lấy E đối xứng với B qua M.

a) Chứng minh tứ giác ABCE là hình chữ nhật.

b) Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại D, cắt BH tại I. Chứng minh tứ giác ACDE là hình bình hành.

c) Chứng minh EI // AM.

d) Chứng minh tứ giác AIEC là hình thang cân.

e) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để ABCE là hình vuông?

a) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến AC, MC cắt nhau tại C.

Suy ra OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó \(2\widehat {AOC} = 2\widehat {COM} = \widehat {AOM}\).

Chứng minh tương tự, ta được \(2\widehat {MOD} = 2\widehat {DOB} = \widehat {MOB}\).

Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \) (kề bù).

Suy ra \(2\widehat {COM} + 2\widehat {MOD} = 180^\circ \).

Khi đó \(2\left( {\widehat {COM} + \widehat {MOD}} \right) = 180^\circ \).

Vì vậy \(\widehat {COD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \).

Vậy tam giác COD vuông tại O.

b) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến AC, MC cắt nhau tại C.

Suy ra AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Chứng minh tương tự, ta được DM = BD.

Ta có CD là tiếp tuyến của (O) có M là tiếp điểm. Suy ra OM ⊥ CD.

Tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao: OM² = CM.DM.

⇔ R² = AC.BD.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

c) Gọi I là giao điểm của MH và BC, K là giao điểm của MB và AC.

Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến DM, DB cắt nhau tại D.

Suy ra DM = DB.

Lại có OM = OB = R.

Suy ra OD là đường trung trực của đoạn MB.

Do đó OD ⊥ MB.

Mà OD ⊥ OC (tam giác COD vuông tại O).

Suy ra MB // OC.

Mà O là trung điểm AB (đường tròn (O) có AB là đường kính).

Do đó OC là đường trung bình của tam giác ABK.

Vì vậy C là trung điểm AK.

Ta có MH ⊥ AB (giả thiết) và AK ⊥ AB (do AK là tiếp tuyến của (O) tại A).

Suy ra MH // AK.

Áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{MI}}{{CK}} = \frac{{IH}}{{AC}} = \frac{{BI}}{{BC}}\).

Mà CK = CA (C là trung điểm AK).

Suy ra MI = IH.

Do đó I là trung điểm của MH.

Vậy BC đi qua trung điểm I của đoạn MH.

a) Vì D thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \).

Suy ra BD ⊥ AC.

Ta có AB là tiếp tuyến của (O), với B là tiếp điểm.

Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).

Tam giác ABC vuông tại B có BD là đường cao: AB² = AD.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy BD vuông góc AC và AB² = AD.AC.

b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC (do BC là đường kính của (O)) và OH // CE (giả thiết).

Suy ra OH là đường trung bình của tam giác BEC.

Vậy H là trung điểm của BE.

Vì E thuộc đường tròn (O) và BC là đường kính nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \).

Suy ra BE ⊥ CE.

Mà CE // OH (giả thiết).

Do đó OH ⊥ BE hay AH ⊥ BE.

Tam giác ABE có AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.

Suy ra tam giác ABE cân tại A.

Do đó AB = AE.

Xét ∆ABO và ∆AEO, có:

AO chung;

AB = AE (chứng minh trên);

OB = OE (= R).

Do đó ∆ABO = ∆AEO (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {AEO} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) (cặp góc tương ứng).

Vậy AE là tiếp tuyến của (O).

c) Tam giác OBA vuông tại B có BH là đường cao: OB² = OH.OA (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Suy ra OC² = OH.OA.

Xét ∆OHC và ∆OCA, có:

\(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OA}}\) (OC² = OH.OA);

\(\widehat {COH}\) chung.

Do đó  (c.g.c).

Vậy \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\) (cặp góc tương ứng).

d) Ta có \(\widehat {OCF} = \widehat {FCE}\,\,\left( { = \widehat {OFC}} \right)\).

Lại có \(\widehat {OCH} = \widehat {ACE}\,\,\left( { = \widehat {OAC}} \right)\).

Suy ra \(\widehat {HCF} = \widehat {FCA}\).

Khi đó CF là tia phân giác của \(\widehat {HCA}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác HCA, ta được: \(\frac{{HF}}{{FA}} = \frac{{HC}}{{CA}}\).

Vậy FA.CH = HF.CA (điều phải chứng minh).