Câu hỏi:
30/06/2023 1,530
Cho a, b, c ≥ 0 và thỏa mãn a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chứng minh abc + 2 ≥ ab + bc + ca ≥ abc.
Cho a, b, c ≥ 0 và thỏa mãn a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chứng minh abc + 2 ≥ ab + bc + ca ≥ abc.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Điều phải chứng minh tương đương với:
0 ≤ ab + bc + ca – abc ≤ 2
Ta có: ab + bc + ca – abc = a(b + c) + bc(1 – a)
a2 + b2 + c2 + abc = 4
⇒
Do vậy tồn tại tam giác ABC không tù sao cho a = 2 cos A, b = 2 cos B, c = 2 cos C
Chứng minh trở thành: 2 cos A cos B + 2 cos B cos C + 2 cos C cos A – 4 cos A cos B cos C ≤ 1 (1).
Ta có nhận xét sau: có hai trong ba góc A, B, C không lớn hơn 60° hoặc không nhỏ hơn 60°.
Không mất tính tổng quát, giả sử hai góc đó là A và B, khi đó:
(1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) ≥ 0.
Mặt khác, ta có (1) tương đương với:
cos (A + B) + cos (A – B) + (2 cos A + 2 cos B – 4 cos A cos B) cos C ≤ 1
⇔ cos (A – B) + (2 cos A + 2 cos B – 4 cos A cos B – 1) cos C ≤ 1
⇒ cos (A – B) – (1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) cos C ≤ 1
Do (1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) ≥ 0 và cos (A – B) ≤ 1 nên bất đẳng thức luôn đúng. Bài toán được chứng minh.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 5:
Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số sao cho mỗi số trong đó xuất hiện đúng 1 lần.
Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số sao cho mỗi số trong đó xuất hiện đúng 1 lần.
Xem đáp án »
30/06/2023
2,661
Câu 6:
Chứng minh n3 + 20n chia hết cho 48 với mọi số n là số tự nhiên chẵn.
Chứng minh n3 + 20n chia hết cho 48 với mọi số n là số tự nhiên chẵn.
Xem đáp án »
30/06/2023
2,440
về câu hỏi!