Cho a, b, c ≥ 0 và thỏa mãn a² + b² + c² + abc = 4. Chứng minh abc + 2 ≥ ab + bc + ca ≥ abc.

Điều phải chứng minh tương đương với:

0 ≤ ab + bc + ca – abc ≤ 2

Ta có: ab + bc + ca – abc = a(b + c) + bc(1 – a)

a² + b² + c² + abc = 4

⇒ $\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}+2.\frac{a}{2}.\frac{b}{2}.\frac{c}{2}=1$

Do vậy tồn tại tam giác ABC không tù sao cho a = 2 cos A, b = 2 cos B, c = 2 cos C

Chứng minh trở thành: 2 cos A cos B + 2 cos B cos C + 2 cos C cos A – 4 cos A cos B cos C ≤ 1 (1).

Ta có nhận xét sau: có hai trong ba góc A, B, C không lớn hơn 60° hoặc không nhỏ hơn 60°.

Không mất tính tổng quát, giả sử hai góc đó là A và B, khi đó:

(1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) ≥ 0.

Mặt khác, ta có (1) tương đương với:

cos (A + B) + cos (A – B) + (2 cos A + 2 cos B – 4 cos A cos B) cos C ≤ 1

⇔ cos (A – B) + (2 cos A + 2 cos B – 4 cos A cos B – 1) cos C ≤ 1

⇒ cos (A – B) – (1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) cos C ≤ 1

Do (1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) ≥ 0 và cos (A – B) ≤ 1 nên bất đẳng thức luôn đúng. Bài toán được chứng minh.