Câu hỏi:
30/06/2023 1,113Cho hình thoi ABCD, có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, CD.
a) Nêu nhận xét về quan hệ bằng nhau của \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ADB}\). Vì sao?
b) Tứ giác AMNC là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh tứ giác OMDN là hình thoi.
d) Gọi E là giao điểm của đường thẳng BM với đường thẳng CD. Tính số đo \(\widehat {AED}\), biết \(\widehat {BAD} = 130^\circ \).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta có ABCD là hình thoi (giả thiết).
Suy ra AB = AD.
Do đó tam giác ABD cân tại A.
Vậy \(\widehat {ABD} = \widehat {ADB}\).
b) Chứng minh tương tự câu a, ta được \(\widehat {DAC} = \widehat {DCA}\) (1)
Tam giác ACD có M, N lần lượt là trung điểm của AD, CD.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ACD.
Do đó MN // AC (2)
Từ (1), (2) ta thu được tứ giác AMNC là hình thang cân.
c) Vì ABCD là hình thoi tâm O nên AC ⊥ BD tại O.
Tam giác AOD vuông tại O có OM là đường trung tuyến.
Suy ra OM = MD (3)
Chứng minh tương tự, ta được ON = ND (4)
Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AD, CD.
Suy ra AD = 2MD và CD = 2ND.
Vì ABCD là hình thoi nên AD = CD.
Suy ra 2MD = 2ND hay MD = ND (5)
Từ (3), (4), (5), suy ra OM = MD = ND = ON.
Vậy tứ giác OMDN là hình thoi.
d) Xét ∆AMB và ∆DME, có:
AM = MD (M là trung điểm AD);
\(\widehat {AMB} = \widehat {DME}\) (đối đỉnh);
\(\widehat {ADE} = \widehat {BAD}\) (AB // CE; cặp góc so le trong).
Do đó ∆AMB = ∆DME (g.c.g).
Suy ra AB = DE (cặp cạnh tương ứng).
Mà AB // CE (ABCD là hình thoi).
Vì vậy tứ giác ABDE là hình bình hành.
Vậy \(\widehat {AED} = \widehat {ABD} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAD}}}{2} = 25^\circ \).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
a) Chứng minh rằng BD vuông góc AC và AB2 = AD.AC.
b) Từ C vẽ dây CE // OA. BE cắt OA tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến.
c) Chứng minh rằng \(\widehat {OCH} = \widehat {OAC}\).
d) Tia OA cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng FA.CH = HF.CA.
Câu 2:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC.BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Câu 3:
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó thì nó tăng 4106 đơn vị.
Câu 4:
Lấy điểm A trên (O; R), vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B. Trên (O; R) lấy điểm C sao cho BC = AB.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b) Vẽ đường kính AD của (O), kẻ CK vuông góc với AD. Chứng minh rằng CD // OB và BC.CD = CK.OB.
c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E, F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp ∆BEF. Chứng minh .
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SB với đáy (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC tính theo a.
Câu 6:
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c thỏa mãn \[\frac{{a + b}}{6} = \frac{{b + c}}{5} = \frac{{c + a}}{7}\]. Tính giá trị của biểu thức T = cosA + 2cosB + 3cosC.
Câu 7:
Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 và đường thẳng (d’): y = (m + 1)x + 5 (m là tham số, m ≠ –1).
a) Vẽ đường thẳng (d) trên hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’).
c) Tìm m để hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung.
về câu hỏi!