Chứng minh n3 + 20n chia hết cho 48 với mọi số n là số tự nhiên chẵn.

Giả sử n = 2k (k là số tự nhiên) n3 + 20n = (2k)3 + 20 . 2k = 8k3 + 40k = 8k(k2 + 5) Ta thấy 8 ⋮ 8 nên 8k(k2 + 5) ⋮ 8 (1) + Nếu k chẵn thì k ⋮ 2 ⇒ k(k2 + 5) ⋮ 2 + Nếu k lẻ thì k2 lẻ ⇒ k2 + 5 chẵn ⇒ k(k2 + 5) ⋮ 2 Vậy k(k2 + 5) ⋮ 2 (2) + Nếu k ⋮ 3 thì k(k2 + 5) ⋮ 3 + Nếu k chia 3 dư 1 thì k2 + 5 = (3l + 1)2 + 5 = 9l2 + 6l + 6 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên) + Nếu k chia 3 dư 2 thì k2 + 5 = (3l + 2)2 + 5 = 9l2 + 12l + 9 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên). Vậy k(k2 + 5) ⋮ 3 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: 8k(k2 + 5) ⋮ 40. Vậy n3 + 20n chia hết cho 48.

Câu hỏi:

30/06/2023 3,868

Chứng minh n³ + 20n chia hết cho 48 với mọi số n là số tự nhiên chẵn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử n = 2k (k là số tự nhiên)

n³ + 20n = (2k)³ + 20 . 2k = 8k³ + 40k = 8k(k² + 5)

Ta thấy 8 ⋮ 8 nên 8k(k² + 5) ⋮ 8 (1)

+ Nếu k chẵn thì k ⋮ 2 ⇒ k(k² + 5) ⋮ 2

+ Nếu k lẻ thì k² lẻ ⇒ k² + 5 chẵn ⇒ k(k² + 5) ⋮ 2

Vậy k(k² + 5) ⋮ 2 (2)

+ Nếu k ⋮ 3 thì k(k² + 5) ⋮ 3

+ Nếu k chia 3 dư 1 thì k² + 5 = (3l + 1)² + 5 = 9l² + 6l + 6 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên)

+ Nếu k chia 3 dư 2 thì k² + 5 = (3l + 2)² + 5 = 9l² + 12l + 9 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên).

Vậy k(k² + 5) ⋮ 3 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 8k(k² + 5) ⋮ 40.

Vậy n³ + 20n chia hết cho 48.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số có 2 chữ số đều chia hết cho 3?

Xem đáp án

Lời giải

Số có 2 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 3 là: 12

Số có 2 chữ số lớn nhất chia hết cho 3 là: 99

Có số số có 2 chữ số chia hết cho 3 là:

(99 – 12) : 3 + 1 = 30 (số)

Đáp số: 30 số.

Câu 2

Cho a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 14. Tính a⁴ + b⁴ + c⁴.

Xem đáp án

Lời giải

a + b + c = 0

⇔ (a + b + c)² = 0

⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0

⇔ ab + bc + ca = –7.

Bình phương 2 vế ta có:

(ab + bc + ca)² = 49

⇔ a²b² + b²c² + a²c² + 2abc (a + b + c) = 49

⇔ a²b² + b²c² + a²c² = 49.

Lại có:

a² + b² + c² = 14

⇔ (a² + b² + c²)² = 14² = 196

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + a²c²) = 196

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2 . 49 = 196

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 196 – 98

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 98.

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ = 98.

Câu 3