Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 và AC = 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 và AC = 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Do tam giác ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pythagore).
Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).
Gọi AD là đường phân giác của tam giác ABC.
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\).
Khi đó \(\overrightarrow {BD} = \frac{3}{4}\overrightarrow {DC} \).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {ID} - \overrightarrow {IB} = \frac{3}{4}\overrightarrow {IC} - \frac{3}{4}\overrightarrow {ID} \).
\( \Leftrightarrow \frac{7}{4}\overrightarrow {ID} = \overrightarrow {IB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {IC} \).
\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {ID} = 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} \) (1)
Lại có BI là đường phân giác của tam giác ABD (do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: \(\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{BD + DC}}{{BA + AC}} = \frac{{BC}}{{BA + AC}} = \frac{5}{7}\).
Khi đó \(7\overrightarrow {ID} = - 5\overrightarrow {IA} \) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = - 5\overrightarrow {IA} \).
Vậy \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\) (điều phải chứng minh).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Hình bình hành ABCD có \(\widehat {BAD},\,\widehat {ADC}\) ở vị trí trong cùng phía.
Suy ra \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 60^\circ \).
Khi đó \(\widehat {ADI} = \widehat {IDC} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} = 30^\circ \) (do DI là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).
Mà \(\widehat {AID} = \widehat {IDC}\) (cặp góc so le trong).
Vì vậy \(\widehat {AID} = \widehat {ADI}\).
Suy ra tam giác ADI cân tại A.
Do đó AD = AI.
Mà AB = 2AI (I là trung điểm của AB).
Vậy AB = 2AD (điều phải chứng minh).
b) Gọi J là trung điểm của DI.
Tam giác ADI có AJ là đường trung tuyến.
Suy ra AJ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác ADI.
Khi đó \(\widehat {JAI} = \widehat {DAJ} = \frac{{\widehat {DAI}}}{2} = 60^\circ \).
Xét ∆AJD và ∆DHA, có:
\(\widehat {AJD} = \widehat {DHA} = 90^\circ \);
AD là cạnh chung;
\(\widehat {DAJ} = \widehat {ADH} = 60^\circ \).
Do đó ∆AJD = ∆DHA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra DJ = AH (cặp cạnh tương ứng).
Mà DI = 2DJ (J là trung điểm của DI).
Vậy DI = 2AH (điều phải chứng minh).
c) Ta có BI = BC \(\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\).
Suy ra tam giác IBC cân tại B.
Mà \(\widehat {IBC} = \widehat {ADC} = 60^\circ \).
Do đó tam giác IBC đều.
Vì vậy IC = IB = IA.
Khi đó tam giác ABC vuông tại C hay \(\widehat {ACB} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {ACB} = 90^\circ \).
Vậy AD ⊥ AC (điều phải chứng minh).
Lời giải
⦁ Ta có \({\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\).
\( \Rightarrow \sin a = \pm \frac{3}{5}\).
Vì 0° < a < 90° nên sina > 0.
Do đó \(\sin a = \frac{3}{5}\).
⦁ Ta có \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{3}{5}:\frac{4}{5} = \frac{3}{4}\).
⦁ Ta có \(\cot a = \frac{1}{{\tan a}} = \frac{4}{3}\).
Vậy \(\sin a = \frac{3}{5}\); \(\tan a = \frac{3}{4}\) và \(\cot a = \frac{4}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo