Câu hỏi:

30/06/2023 2,692

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, N là trung điểm của AC.

Suy ra ba điểm B, G, N thẳng hàng.

Dựng hình bình hành ABCD.

Khi đó trung điểm N của AC cũng là trung điểm của đoạn BD.

Ta có \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = 3MG + 3\left| {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = 3MG + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right|\)

= 3(MG + MD) ≥ 3GD (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra M là giao điểm của GD và AC hay M là trung điểm của AC.

Khi đó M trùng N.

Vì tam giác ABC đều nên đường trung tuyến BN cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABN vuông tại N: \(BN = \sqrt {A{B^2} - A{N^2}} = \sqrt {A{B^2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Khi đó \(GN = \frac{1}{3}BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)\(ND = BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì vậy \(3GD = 3\left( {GN + ND} \right) = 3\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6} + \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2a\sqrt 3 \).

Vậy \({T_{\min }} = 2a\sqrt 3 \) khi M là trung điểm của AC.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD có góc A = 120 độ. Tia phân giác của góc D qua (ảnh 1)

a) Hình bình hành ABCD có \(\widehat {BAD},\,\widehat {ADC}\) ở vị trí trong cùng phía.

Suy ra \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 60^\circ \).

Khi đó \(\widehat {ADI} = \widehat {IDC} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} = 30^\circ \) (do DI là tia phân giác của \(\widehat {ADC}\)).

\(\widehat {AID} = \widehat {IDC}\) (cặp góc so le trong).

Vì vậy \(\widehat {AID} = \widehat {ADI}\).

Suy ra tam giác ADI cân tại A.

Do đó AD = AI.

Mà AB = 2AI (I là trung điểm của AB).

Vậy AB = 2AD (điều phải chứng minh).

b) Gọi J là trung điểm của DI.

Tam giác ADI có AJ là đường trung tuyến.

Suy ra AJ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác ADI.

Khi đó \(\widehat {JAI} = \widehat {DAJ} = \frac{{\widehat {DAI}}}{2} = 60^\circ \).

Xét ∆AJD và ∆DHA, có:

\(\widehat {AJD} = \widehat {DHA} = 90^\circ \);

AD là cạnh chung;

\(\widehat {DAJ} = \widehat {ADH} = 60^\circ \).

Do đó ∆AJD = ∆DHA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra DJ = AH (cặp cạnh tương ứng).

Mà DI = 2DJ (J là trung điểm của DI).

Vậy DI = 2AH (điều phải chứng minh).

c) Ta có BI = BC \(\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\).

Suy ra tam giác IBC cân tại B.

\(\widehat {IBC} = \widehat {ADC} = 60^\circ \).

Do đó tam giác IBC đều.

Vì vậy IC = IB = IA.

Khi đó tam giác ABC vuông tại C hay \(\widehat {ACB} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {ACB} = 90^\circ \).

Vậy AD AC (điều phải chứng minh).

Lời giải

Ta có \({\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\).

\( \Rightarrow \sin a = \pm \frac{3}{5}\).

Vì 0° < a < 90° nên sina > 0.

Do đó \(\sin a = \frac{3}{5}\).

Ta có \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{3}{5}:\frac{4}{5} = \frac{3}{4}\).

Ta có \(\cot a = \frac{1}{{\tan a}} = \frac{4}{3}\).

Vậy \(\sin a = \frac{3}{5}\); \(\tan a = \frac{3}{4}\)\(\cot a = \frac{4}{3}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP