Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a.Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.

a) Chứng minh \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).

b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.

c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABD vuông tại A, ta có:

\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

T a có: \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Mà \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a + a}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2a}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).

b) Xét tam giác BDE và tam giác CDB có:

\(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\)

\(\widehat {BDE}\) chung

Do đó ∆BDE ᔕ ∆CDB (c.g.c)

c) Cách 1: Xét tam giác ABD vuông tại A

Có AB = AD = a

Do đó, tam giác ABD vuông cân tại A

\[ \Rightarrow \widehat {BDA} = \widehat {ABD} = 45^\circ \]

Do ∆BDE ᔕ ∆CDB \( \Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}\)

Mặt khác: \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\;\,\,\left( 3 \right)\)

Xét tam giác BCD có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD} = \widehat {ADB} = 45^\circ \,\,\;\left( 4 \right)\) (Tính chất góc ngoài)

Từ (3) và (4) ta suy ra \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \).

Cách 2: Ta có: AE = AD + DE = 2a.

Xét tam giác ABE vuông tại A

Ta có: \(\tan \widehat {AEB} = \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AEB} \approx 26^\circ 34'\).

Xét tam giác ABC vuông tại A

Ta có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{{3a}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 18^\circ 26'\).

Suy ra \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = 26^\circ 34' + 18^\circ 26' = 45^\circ \).

Vậy \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {AEB} + \widehat {ACB} = 45^\circ \).