Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh CD = AC + BD.

b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.BC = KE.EB.

c) EF cắt CB tại I. CM tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFD, suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.

d) EA cắt CF tại M. EB cắt DF tại N. CM: M, I, N thẳng hàng.

a) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

• Ax và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C nên CA = CE;

• By và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D nên DB = DE.

Suy ra: AC + BD = CE + DE = CD (đpcm)

b) ΔAEB nội tiếp đường tròn đường kính AB

Þ ΔAEB vuông tại E mà EF là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: AF.AB = AE² (1)

ΔBAK vuông tại A có AE là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: KE.EB = AE² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AF.AB = KE.EB (đpcm)

c) Ax // By (cùng ^ AB), theo định lí Ta-lét, ta có: 

\(\frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{AF}}{{FB}}\)

Mà CE = CA và ED = BD suy ra \(\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{CA}}{{BD}}\)

Lại có \(\widehat {CAF} = \widehat {FBD} = 90^\circ \)

Do đó ΔAFC ᔕ ΔBFD (c.g.c) (đpcm)

d) Ta có: CA = CE; OA = OE nên OC là đường trung trực của AE.

Mà AE ^ EB Þ OC // EB hay OC // BK

Lại có O là trung điểm của BC

Do đó C là trung điểm của AK Þ AC = CK

EF // AK Þ \(\frac{{IE}}{{CK}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{IF}}{{AC}}\)

Mà AC = CK Þ IE = IF

Gọi P = IM Ç Ax; Q = IN Ç By

Ta có: CP // IF \( \Rightarrow \frac{{CP}}{{IF}} = \frac{{MP}}{{MI}}\)

PA // IE \( \Rightarrow \frac{{MP}}{{MI}} = \frac{{AP}}{{IE}}\)

Mà IE = IF Þ CP = MP Þ P là trung điểm của AC.

Chứng minh tương tự ta có Q là trung điểm của BD.

IE // BD \( \Rightarrow \frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CA}}{{BD}} = \frac{{2CP}}{{2QB}} = \frac{{CP}}{{QB}}\)

và \(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\)

Do đó ΔPCI ᔕ ΔQBI (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {QIB} + \widehat {PIB} = \widehat {PIC} + \widehat {PIB} = 180^\circ \)

Þ P, I, Q thẳng hàng Þ M, I, N thẳng hàng (đpcm)