Câu hỏi:

03/07/2023 5,496

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh CD = AC + BD.

b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.BC = KE.EB.

c) EF cắt CB tại I. CM tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFD, suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.

d) EA cắt CF tại M. EB cắt DF tại N. CM: M, I, N thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (ảnh 1)

a) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

• Ax và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C nên CA = CE;

• By và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D nên DB = DE.

Suy ra: AC + BD = CE + DE = CD (đpcm)

b) ΔAEB nội tiếp đường tròn đường kính AB

Þ ΔAEB vuông tại E mà EF là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: AF.AB = AE² (1)

ΔBAK vuông tại A có AE là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: KE.EB = AE² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AF.AB = KE.EB (đpcm)

c) Ax // By (cùng ^ AB), theo định lí Ta-lét, ta có:

\(\frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{AF}}{{FB}}\)

Mà CE = CA và ED = BD suy ra \(\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{CA}}{{BD}}\)

Lại có \(\widehat {CAF} = \widehat {FBD} = 90^\circ \)

Do đó ΔAFC ᔕ ΔBFD (c.g.c) (đpcm)

d) Ta có: CA = CE; OA = OE nên OC là đường trung trực của AE.

Mà AE ^ EB Þ OC // EB hay OC // BK

Lại có O là trung điểm của BC

Do đó C là trung điểm của AK Þ AC = CK

EF // AK Þ \(\frac{{IE}}{{CK}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{IF}}{{AC}}\)

Mà AC = CK Þ IE = IF

Gọi P = IM Ç Ax; Q = IN Ç By

Ta có: CP // IF \( \Rightarrow \frac{{CP}}{{IF}} = \frac{{MP}}{{MI}}\)

PA // IE \( \Rightarrow \frac{{MP}}{{MI}} = \frac{{AP}}{{IE}}\)

Mà IE = IF Þ CP = MP Þ P là trung điểm của AC.

Chứng minh tương tự ta có Q là trung điểm của BD.

IE // BD \( \Rightarrow \frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CA}}{{BD}} = \frac{{2CP}}{{2QB}} = \frac{{CP}}{{QB}}\)

và \(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\)

Do đó ΔPCI ᔕ ΔQBI (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {QIB} + \widehat {PIB} = \widehat {PIC} + \widehat {PIB} = 180^\circ \)

Þ P, I, Q thẳng hàng Þ M, I, N thẳng hàng (đpcm)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \;\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;\;a \ne 0} \right)\)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)

Suy ra có \(A_5^3\,.\,A_7^2\) số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)

Suy ra có \(A_4^3\,.\,C_7^1\) (cách)

Vậy có: \(A_5^3\,.\,A_7^2 - A_4^3\,.\,C_7^1 = 2376\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ G(x_G; y_G).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(0; 1).

b) Gỉả sử điểm D có tọa độ là D(x_D; y_D)

Vì C là trọng tâm của tam giác ABD nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 4 + 2 + {x_D}}}{3} = 2\\\frac{{1 + 4 + {y_D}}}{3} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 + 2 + {x_D} = 6\\1 + 4 + {y_D} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 11\end{array} \right.\)

Vậy điểm D có tọa độ là D(8; −11).

c) Gỉả sử điểm D có tọa độ là E(x_E; y_E).

Để tứ giác ABCE là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \)

\[ \Leftrightarrow \left( {2 + 4;\;4 - 1} \right) = \left( {2 - {x_E};\; - 2 - {y_E}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - {x_E} = 6\\ - 2 - {y_E} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 5\end{array} \right.\)

Vậy điểm E có tọa độ là E(−4; −5).

Câu 3