Câu hỏi:
04/07/2023 727Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
Ta có \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} - \frac{1}{{2ab}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
\(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} = \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{1^2}}} = 4\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: 4ab ≤ (a + b)2 = 12 = 1.
\( \Rightarrow \frac{2}{{4ab}} \ge \frac{2}{1}\) \( \Rightarrow \frac{1}{{2ab}} \ge 2\) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} - \frac{1}{{2ab}} \ge 4 - 2\).
Vậy \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 2\) (điều phải chứng minh).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho AC = BD.
a) Chứng minh AD = BC.
b) Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh ∆EAC = ∆EBD.
c) Chứng minh OE là phân giác của \(\widehat {xOy}\).
về câu hỏi!