Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, \(AC = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm I của BC. Tính khoảng cách giữa BB’ và AC’.

Lời giải

Ta có BB’ // (ACC’A’) và AC’ ⊂ (ACC’A’).

Suy ra d(BB’, AC’) = d(BB’, (ACC’A’)) = d(B, (ACC’A’)).

Gọi J là trung điểm AC.

Khi đó IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra IJ // AB và \(IJ = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Mà AB ⊥ AC.

Do đó IJ ⊥ AC.

Mà A’I ⊥ AC (do A’I ⊥ (ABC)).

Suy ra AC ⊥ (A’IJ).

Trong (A’IJ): kẻ IK ⊥ A’J tại K.

Khi đó AC ⊥ IK.

Mà IK ⊥ A’J.

Do đó IK ⊥ (ACC’A’).

Vì vậy d(I, (ACC’A’) = IK.

Tam giác ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến.

Suy ra \(AI = IB = IC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }}{2} = a\).

Tam giác AA’I vuông tại I: \(A'I = \sqrt {A{{A'}^2} - A{I^2}} = a\sqrt 3 \).

Tam giác A’IJ vuông tại I có IK là đường cao: \[\frac{1}{{I{K^2}}} = \frac{1}{{A'{I^2}}} + \frac{1}{{I{J^2}}} = \frac{{13}}{{3{a^2}}}\].

Suy ra \(IK = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Do đó \(d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \frac{{CB}}{{CI}}.d\left( {I,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 2.IK = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Vậy khoảng cách giữa BB’ và AC’ bằng \(\frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).