a) Tính giá trị của \(T = C_{2021}^0 + C_{2021}^2 + C_{2021}^4 + ... + C_{2021}^{2020}\).

b) Tính \(S = C_{15}^8 + C_{15}^9 + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15}\).

Lời giải

a) Xét khai triển: \({\left( {1 + x} \right)^{2021}} = C_{2021}^0 + C_{2021}^1.x + ... + C_{2021}^{2020}.{x^{2020}} + C_{2021}^{2021}.{x^{2021}}\).

Thay x = 1 vào khai triển trên, ta được:

\({2^{2021}} = C_{2021}^0 + C_{2021}^1 + ... + C_{2021}^{2020} + C_{2021}^{2021}\)    (1)

Thay x = –1 vào khai triển trên, ta được:

\(0 = C_{2021}^0 - C_{2021}^1 + C_{2021}^2 - C_{2021}^3 + ... + C_{2021}^{2020} - C_{2021}^{2021}\).

\( \Leftrightarrow C_{2021}^0 + C_{2021}^2 + ... + C_{2021}^{2020} = C_{2021}^1 + C_{2021}^3 + ... + C_{2021}^{2021}\)      (2)

Thế (2) vào (1), ta được:

\(2\left( {C_{2021}^0 + C_{2021}^2 + C_{2021}^4 + ... + C_{2021}^{2020}} \right) = {2^{2021}}\).

Vậy T = 2²⁰²⁰.

b) Xét khai triển: \({\left( {1 + x} \right)^{15}} = C_{15}^0 + C_{15}^1.x + ... + C_{15}^{15}.{x^{15}}\).

Thay x = 1 vào khai triển trên, ta được: \({2^{15}} = C_{15}^0 + C_{15}^1 + ... + C_{15}^{15}\).

Mà \(C_{15}^0 = C_{15}^{15};\,\,C_{15}^1 = C_{15}^{14};\,\,C_{15}^2 = C_{15}^{13};\,\,...;\,\,C_{15}^7 = C_{15}^8\).

Khi đó \(2\left( {C_{15}^8 + C_{15}^9 + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15}} \right) = {2^{15}}\).

Vậy S = 2¹⁴.