Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B và SA ⊥ (ABCD). Biết \(SA = AD = a\sqrt 2 \), AB = BC = a. Tính khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SBD).

Lời giải

Trong (ABCD): kẻ AE ⊥ BD.

Trong (SAE): kẻ AK ⊥ SE.

Ta có BD ⊥ AE và BD ⊥ SA.

Suy ra BD ⊥ (SAE).

Do đó BD ⊥ AK.

Mà AK ⊥ SE.

Vì vậy AK ⊥ (SBD).

Khi đó d(A, (SBD)) = AK.

Tam giác ABD vuông tại A có AE là đường cao:

\(AE = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Tam giác SAE vuông tại A có AK là đường cao:

\(AK = \frac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{\sqrt {2{a^2} + \frac{{2{a^2}}}{3}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AK = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Trong (ABCD): gọi I = AC ∩ BD.

Ta có AB = BC = a và \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).

Suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.

Do đó \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = 45^\circ \).

Mà \(\widehat {IAD} = \widehat {BAD} - \widehat {BAC} = 45^\circ \).

Suy ra AI là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: \(\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Do đó \(ID = \sqrt 2 IB\).

Ta có \(IB + ID = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow IB + \sqrt 2 IB = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow IB = \frac{{a\sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 2 }} = a\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)\).

Ta có \(I{B^2} = A{B^2} + A{I^2} - 2AB.AI.\cos \widehat {BAI}\).

\[ \Rightarrow A{I^2} - a\sqrt 2 .AI + \left( {6\sqrt 2 - 8} \right){a^2} = 0\].

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}AI = a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)\\AI = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\)

Vì AI > IB nên ta nhận \(AI = a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)\).

Với \(AI = a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)\), ta có \(IC = AC - AI = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\).

Khi đó \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{IC}}{{IA}}.d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)}}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{a}{2}\).

Vậy khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng \(\frac{a}{2}\).