Câu hỏi:
04/07/2023 159
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B và SA ⊥ (ABCD). Biết \(SA = AD = a\sqrt 2 \), AB = BC = a. Tính khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SBD).
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Trong (ABCD): kẻ AE ⊥ BD.
Trong (SAE): kẻ AK ⊥ SE.
Ta có BD ⊥ AE và BD ⊥ SA.
Suy ra BD ⊥ (SAE).
Do đó BD ⊥ AK.
Mà AK ⊥ SE.
Vì vậy AK ⊥ (SBD).
Khi đó d(A, (SBD)) = AK.
Tam giác ABD vuông tại A có AE là đường cao:
\(AE = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Tam giác SAE vuông tại A có AK là đường cao:
\(AK = \frac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{\sqrt {2{a^2} + \frac{{2{a^2}}}{3}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AK = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Trong (ABCD): gọi I = AC ∩ BD.
Ta có AB = BC = a và \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).
Suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.
Do đó \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = 45^\circ \).
Mà \(\widehat {IAD} = \widehat {BAD} - \widehat {BAC} = 45^\circ \).
Suy ra AI là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: \(\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Do đó \(ID = \sqrt 2 IB\).
Ta có \(IB + ID = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow IB + \sqrt 2 IB = a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow IB = \frac{{a\sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 2 }} = a\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)\).
Ta có \(I{B^2} = A{B^2} + A{I^2} - 2AB.AI.\cos \widehat {BAI}\).
\[ \Rightarrow A{I^2} - a\sqrt 2 .AI + \left( {6\sqrt 2 - 8} \right){a^2} = 0\].
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}AI = a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)\\AI = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\)
Vì AI > IB nên ta nhận \(AI = a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)\).
Với \(AI = a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)\), ta có \(IC = AC - AI = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\).
Khi đó \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{IC}}{{IA}}.d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{a\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{a\left( {2\sqrt 2 - 2} \right)}}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{a}{2}\).
Vậy khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng \(\frac{a}{2}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai tập hợp A = (m – 1; 5], B = (3; 2020 – 5m) và A, B khác rỗng. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để A \ B = ∅?
Xem đáp án »
04/07/2023
23,410
Câu 2:
Cách xác định cạnh kề, cạnh đối, cạnh huyền trong tam giác vuông.
Xem đáp án »
04/07/2023
11,839
Câu 3:
Cho hàm số y = mx + 3. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.
Xem đáp án »
04/07/2023
6,132
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = –4x2 + 4mx – m2 + 2 nghịch biến trên (–2; +∞).
Xem đáp án »
04/07/2023
4,961
Câu 5:
Cho đường thẳng d có phương trình y = (m – 1)x + 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.
Xem đáp án »
04/07/2023
4,224
Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm B(–2; 3), C(3; 1). Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Xem đáp án »
04/07/2023
3,700
Câu 7:
Tính diện tích hình thang ABCD, biết AB // CD, \(\widehat D = 90^\circ \), \(\widehat C = 38^\circ \), AB = 3,5 cm, AD = 3,1 cm.
Xem đáp án »
04/07/2023
3,692
về câu hỏi!