Câu hỏi:

04/07/2023 166

Giải phương trình: \(\sqrt 3 co{s^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxcosx + si}}{{\rm{n}}^2}x = 1\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

+) TH1: cosx = 0 hay \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Suy ra sin²x = 1

Khi đó \(\sqrt 3 .0 - 1.0{\rm{ + 1}} = 1\) (luôn đúng)

Do đó \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] là nghiệm của phương trình

+) TH1: cosx ≠ 0

Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ta có:

\(\sqrt 3 - \tan x + {\tan ^2}x = \frac{1}{{co{s^2}x}}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 - \tan x + {\tan ^2}x = 1 + {\tan ^2}x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 - 1 = \tan x\)

\( \Leftrightarrow x = \arctan \left( {\sqrt 3 - 1} \right) + \frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,x = \arctan \left( {\sqrt 3 - 1} \right) + \frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh: \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\].

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

Media VietJack

Suy ra \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\]

Vậy \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\].

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H trên AB, AC. Chứng minh:

a) \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\);

b) BC² = 3AH² + BE² + CF²;

c) \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = BH . BC

AC² = CH . BC

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE ⊥ AB, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

BH² = BE . BA

Hay \(BE = \frac{{B{H^2}}}{{BA}}\)

Xét tam giác ACH vuông tại H có HF ⊥ AC, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

CH² = CF . CA

Hay \(CF = \frac{{C{H^2}}}{{CA}}\)

Ta có: \(\frac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}} = \left( {\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{{{{\left( {BH.BC} \right)}^2}}}{{{{\left( {CH.BC} \right)}^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{C{H^2}}} = \frac{{BE.AB}}{{CF.AC}} = \frac{{BE}}{{CF}}.\frac{{AB}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\)

Vậy \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\).

b) Xét tứ giác AEHF có \(\widehat {{\rm{EAF}}} = \widehat {HE{\rm{A}}} = \widehat {HF{\rm{A}}} = 90^\circ \)

Suy ra AEHF là hình chữ nhật

Do đó AH = EF

Xét tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pytago ta có:

Media VietJack

Vậy BC² = 3AH² + BE² + CF²

c) Ta có: \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} \)

Media VietJack

Vậy \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).

Câu 3