Câu hỏi:
13/07/2024 6,986Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về 1 phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \)
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: CD = AC + BD
c) Kẻ OM ⊥ CD tại M, gọi N là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng MN // AC.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì tam giác ACO vuông tại A
Nên \(\widehat {AOC} + \widehat {AC{\rm{O}}} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Ta có: \(\widehat {AOC} + \widehat {CD{\rm{O}}} + \widehat {DOB} = 180^\circ \)
Hay \(\widehat {AOC} + \widehat {DOB} = 180^\circ - \widehat {CD{\rm{O}}} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{O}}}\)
Xét ∆ACO và ∆BDO có
\(\widehat {CAO} = \widehat {DBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{O}}}\) (Chứng minh trên)
Suy ra (g.g)
b) Gọi E là giao điểm của CO và BD
Xét ∆ACO và ∆BEO có
\(\widehat {CAO} = \widehat {EBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)
AO = BO (giả thiết)
\(\widehat {BOE} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)
Suy ra ∆ACO và ∆BEO (g.c.g)
Do đó AC = BE, CO = OE (các cặp cạnh tương ứng)
Xét ∆COD và ∆EOD có
OD là cạnh chung;
\(\widehat {CO{\rm{D}}} = \widehat {EOD}\left( { = 90^\circ } \right)\);
CO = OE (chứng minh trên)
Suy ra ∆COD và ∆EOD (c.g.c)
Do đó CD = DE (hai cạnh tương ứng)
Ta có CD = DE = BD + BE = BD + AC
Vậy CD = AC + BD
c) Ta có AC ⊥ AB và DB ⊥ AB
Suy ra AC // BD
Do đó \(\widehat {CAN} = \widehat {N{\rm{D}}B}\) (hai góc so le trong)
Xét ∆ANC và ∆DNB có
\(\widehat {ANC} = \widehat {BN{\rm{D}}}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\widehat {CAN} = \widehat {N{\rm{D}}B}\) (Chứng minh trên)
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{AC}}{{B{\rm{D}}}}\)
Mà AC = BE nên \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}}\)
Ta có DC = DE (chứng minh câu a)
Suy ra tam giác DCE cân ở D
Mà DO là đường cao
Nên DO là phân giác của \(\widehat {C{\rm{D}}E}\)
Suy ra \(\widehat {{\rm{CD}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)
Xét ∆MOD và ∆BOD có
\(\widehat {{\rm{DMO}}} = \widehat {DBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OD là cạnh chung
\(\widehat {{\rm{MD}}O} = \widehat {O{\rm{DB}}}\) (chứng minh trên)
Suy ra ∆MOD = ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó MD = BD, OM = OB
Mà OB = OA nên OM = OA
Xét ∆MOC và ∆AOC có
\(\widehat {{\rm{CMO}}} = \widehat {CAO}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OC là cạnh chung
OM = OA (chứng minh trên)
Suy ra ∆MOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Do đó MC = AC
Khi đó: \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)
Suy ra MN // AC (định lí Talet đảo)
Vậy MN // AC.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H trên AB, AC. Chứng minh:
a) \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\);
b) BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2;
c) \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).
Câu 3:
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \) (O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD
b) CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
c) \(AC.B{\rm{D}} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).
Câu 4:
Tìm x biết:
a) (2x + 3)(x – 4) + (x – 5)(x – 2) = (3x – 5)(x – 4).
b) (8x – 3)(3x + 2) – (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x – 1).
Câu 5:
Câu 6:
Gọi 084 283 45 85
Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack
về câu hỏi!