Câu hỏi:

13/07/2024 11,407

Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về 1 phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \)

a) Chứng minh rằng:  

b) Chứng minh rằng: CD = AC + BD

c) Kẻ OM CD tại M, gọi N là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng MN // AC.

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Vì tam giác ACO vuông tại A

Nên \(\widehat {AOC} + \widehat {AC{\rm{O}}} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Ta có: \(\widehat {AOC} + \widehat {CD{\rm{O}}} + \widehat {DOB} = 180^\circ \)

Hay \(\widehat {AOC} + \widehat {DOB} = 180^\circ - \widehat {CD{\rm{O}}} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{O}}}\)

Xét ∆ACO và ∆BDO có

\(\widehat {CAO} = \widehat {DBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{O}}}\) (Chứng minh trên)

Suy ra  (g.g)

b) Gọi E là giao điểm của CO và BD

Xét ∆ACO và ∆BEO có

\(\widehat {CAO} = \widehat {EBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AO = BO (giả thiết)

\(\widehat {BOE} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ∆ACO và ∆BEO (g.c.g)

Do đó AC = BE, CO = OE (các cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆COD và ∆EOD có

OD là cạnh chung;

\(\widehat {CO{\rm{D}}} = \widehat {EOD}\left( { = 90^\circ } \right)\);

CO = OE (chứng minh trên)

Suy ra ∆COD và ∆EOD (c.g.c)

Do đó CD = DE (hai cạnh tương ứng)

Ta có CD = DE = BD + BE = BD + AC

Vậy CD = AC + BD

c) Ta có AC AB và DB AB

Suy ra AC // BD

Do đó \(\widehat {CAN} = \widehat {N{\rm{D}}B}\) (hai góc so le trong)

Xét ∆ANC và ∆DNB có

\(\widehat {ANC} = \widehat {BN{\rm{D}}}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {CAN} = \widehat {N{\rm{D}}B}\) (Chứng minh trên)

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{AC}}{{B{\rm{D}}}}\)

Mà AC = BE nên \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}}\)

Ta có DC = DE (chứng minh câu a)

Suy ra tam giác DCE cân ở D

Mà DO là đường cao

Nên DO là phân giác của \(\widehat {C{\rm{D}}E}\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{CD}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)

Xét ∆MOD và ∆BOD có

\(\widehat {{\rm{DMO}}} = \widehat {DBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OD là cạnh chung

\(\widehat {{\rm{MD}}O} = \widehat {O{\rm{DB}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra ∆MOD = ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó MD = BD, OM = OB

Mà OB = OA nên OM = OA

Xét ∆MOC và ∆AOC có

\(\widehat {{\rm{CMO}}} = \widehat {CAO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OC là cạnh chung

OM = OA (chứng minh trên)

Suy ra ∆MOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó MC = AC

Khi đó: \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)

Suy ra MN // AC (định lí Talet đảo)

Vậy MN // AC.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh: \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\].

Xem đáp án » 13/07/2024 15,163

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H trên AB, AC. Chứng minh:

a) \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\);

b) BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2;

c) \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).

Xem đáp án » 13/07/2024 11,783

Câu 3:

Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \) (O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng:

a) CD = AC + BD

b) CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

c) \(AC.B{\rm{D}} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).

Xem đáp án » 13/07/2024 8,791

Câu 4:

Tìm x biết:

a) (2x + 3)(x – 4) + (x – 5)(x – 2) = (3x – 5)(x – 4).

b) (8x – 3)(3x + 2) – (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x – 1).

Xem đáp án » 13/07/2024 7,620

Câu 5:

Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn (a – b) là số nguyên tố và 3c2 = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,611

Câu 6:

Cho 3 tập hợp A = (–∞; 0), B = (1; +∞), C = (0; 1). Tìm (A B ) ∩ C.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,321