Câu hỏi:
13/07/2024 6,788
Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn (a – b) là số nguyên tố và 3c2 = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.
Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có:
3c2 = c(a + b) + ab
⇔ 2c2 = ca + cb + ab + c2
⇔ 2c2 = c(a + c) + b(c + a)
⇔ 2c2 = (a + c) (b + c)
Gọi d gcd(a + c, b + c)
Do a – b = p ∈ P nên d = 1 hoặc d = p
+) Nếu d = 1
Thì a + c = x2, b + c = y2 (xy = 2c)
Suy ra p = (x – y)(x + y).p = 2 (vô lý)
p lẻ thì dễ thấy \[{\rm{x}} = \frac{{p + 1}}{2} = \frac{{a - b + 1}}{2}\] và \(y = \frac{{a - b - 1}}{2}\)
Suy ra \(2c = xy = \frac{{\left( {a - b - 1} \right)\left( {a - b + 1} \right)}}{4}\)
Do đó 8c + 1 = (a – b)2 là số chính phương
+) Nếu d = p thì a + c = pm2, b + c = pn2 (2c = pmn)
Suy ra (m – n)(m + n) = 1
Do đó m = 1 và n = 0 (loại)
Vậy 8c + 1 là số chính phương.
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Chứng minh: \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\].
Xem đáp án »
13/07/2024
15,453
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H trên AB, AC. Chứng minh:
a) \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\);
b) BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2;
c) \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H trên AB, AC. Chứng minh:
a) \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\);
b) BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2;
c) \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).
Xem đáp án »
13/07/2024
12,083
Câu 3:
Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về 1 phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \)
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: CD = AC + BD
c) Kẻ OM ⊥ CD tại M, gọi N là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng MN // AC.
Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về 1 phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \)
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: CD = AC + BD
c) Kẻ OM ⊥ CD tại M, gọi N là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng MN // AC.
Xem đáp án »
13/07/2024
11,975
Câu 4:
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \) (O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD
b) CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
c) \(AC.B{\rm{D}} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \) (O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD
b) CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
c) \(AC.B{\rm{D}} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
9,082
Câu 5:
Tìm x biết:
a) (2x + 3)(x – 4) + (x – 5)(x – 2) = (3x – 5)(x – 4).
b) (8x – 3)(3x + 2) – (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x – 1).
Tìm x biết:
a) (2x + 3)(x – 4) + (x – 5)(x – 2) = (3x – 5)(x – 4).
b) (8x – 3)(3x + 2) – (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x – 1).
Xem đáp án »
13/07/2024
8,187
Câu 6:
Cho 3 tập hợp A = (–∞; 0), B = (1; +∞), C = (0; 1). Tìm (A ∪ B ) ∩ C.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,361
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận