Câu hỏi:
13/07/2024 9,538
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \) (O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD
b) CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
c) \(AC.B{\rm{D}} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \) (O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD
b) CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
c) \(AC.B{\rm{D}} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Gọi E là giao điểm của CO và BD
Xét ∆ACO và ∆BEO có
\(\widehat {CAO} = \widehat {EBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)
AO = BO (giả thiết)
\(\widehat {BOE} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)
Suy ra ∆ACO và ∆BEO (g.c.g)
Do đó AC = BE, CO = OE (các cặp cạnh tương ứng)
Xét ∆COD và ∆EOD có
OD là cạnh chung
\(\widehat {CO{\rm{D}}} = \widehat {EOD}\left( { = 90^\circ } \right)\)
CO = OE (chứng minh trên)
Suy ra ∆COD và ∆EOD (c.g.c)
Do đó CD = DE (hai cạnh tương ứng)
Ta có CD = DE = BD + BE = BD + AC
Vậy CD = AC + BD
b) Kẻ OH ⊥ CD
Ta có DC = DE (chứng minh câu a)
Suy ra tam giác DCE cân ở D
Mà DO là đường cao nên DO đồng thời là phân giác của \(\widehat {C{\rm{D}}E}\)
Suy ra \(\widehat {{\rm{CD}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)
Xét ∆HOD và ∆BOD có
\(\widehat {{\rm{DHO}}} = \widehat {DBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OD là cạnh chung
\(H = \widehat {O{\rm{DB}}}\) (chứng minh trên)
Suy ra ∆HOD và ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó OH = OB, HD = BD (các cặp cạnh tương ứng)
Mà OB là bán kính của (O)
Suy ra H thuộc (O)
Lại có OH ⊥ CD nên CD là tiếp tuyến của (O)
c) Xét ∆HOC và ∆AOC có
\(\widehat {{\rm{CHO}}} = \widehat {CAO}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OC là cạnh chung
OH = OA (= OB)
Suy ra ∆HOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Do đó HC = AC
Xét tam giác COD vuông tại O có OH ⊥ CD
Theo hệ thức lượng trong tam giác có
OH2 = CH . DH
Ta có: \(AC.B{\rm{D}} = CH.DH = O{H^2} = O{A^2} = {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = \frac{{B{C^2}}}{4}\)
Vậy \(AC.B{\rm{D}} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Ta có:
Suy ra \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\]
Vậy \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\].
Lời giải
Lời giải
a) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AB2 = BH . BC
AC2 = CH . BC
Xét tam giác ABH vuông tại H có HE ⊥ AB, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
BH2 = BE . BA
Hay \(BE = \frac{{B{H^2}}}{{BA}}\)
Xét tam giác ACH vuông tại H có HF ⊥ AC, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
CH2 = CF . CA
Hay \(CF = \frac{{C{H^2}}}{{CA}}\)
Ta có: \(\frac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}} = \left( {\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{{{{\left( {BH.BC} \right)}^2}}}{{{{\left( {CH.BC} \right)}^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{C{H^2}}} = \frac{{BE.AB}}{{CF.AC}} = \frac{{BE}}{{CF}}.\frac{{AB}}{{AC}}\)
Suy ra \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\)
Vậy \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\).
b) Xét tứ giác AEHF có \(\widehat {{\rm{EAF}}} = \widehat {HE{\rm{A}}} = \widehat {HF{\rm{A}}} = 90^\circ \)
Suy ra AEHF là hình chữ nhật
Do đó AH = EF
Xét tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pytago ta có:
Vậy BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2
c) Ta có: \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} \)
Vậy \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)