Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \) (O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng:

a) CD = AC + BD

b) CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

c) \(AC.B{\rm{D}} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).

Lời giải

a) Vì tam giác ACO vuông tại A

Nên \(\widehat {AOC} + \widehat {AC{\rm{O}}} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Ta có: \(\widehat {AOC} + \widehat {CD{\rm{O}}} + \widehat {DOB} = 180^\circ \)

Hay \(\widehat {AOC} + \widehat {DOB} = 180^\circ - \widehat {CD{\rm{O}}} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{O}}}\)

Xét ∆ACO và ∆BDO có

\(\widehat {CAO} = \widehat {DBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{O}}}\) (Chứng minh trên)

Suy ra  (g.g)

b) Gọi E là giao điểm của CO và BD

Xét ∆ACO và ∆BEO có

\(\widehat {CAO} = \widehat {EBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AO = BO (giả thiết)

\(\widehat {BOE} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ∆ACO và ∆BEO (g.c.g)

Do đó AC = BE, CO = OE (các cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆COD và ∆EOD có

OD là cạnh chung;

\(\widehat {CO{\rm{D}}} = \widehat {EOD}\left( { = 90^\circ } \right)\);

CO = OE (chứng minh trên)

Suy ra ∆COD và ∆EOD (c.g.c)

Do đó CD = DE (hai cạnh tương ứng)

Ta có CD = DE = BD + BE = BD + AC

Vậy CD = AC + BD

c) Ta có AC ⊥ AB và DB ⊥ AB

Suy ra AC // BD

Do đó \(\widehat {CAN} = \widehat {N{\rm{D}}B}\) (hai góc so le trong)

Xét ∆ANC và ∆DNB có

\(\widehat {ANC} = \widehat {BN{\rm{D}}}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {CAN} = \widehat {N{\rm{D}}B}\) (Chứng minh trên)

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{AC}}{{B{\rm{D}}}}\)

Mà AC = BE nên \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}}\)

Ta có DC = DE (chứng minh câu a)

Suy ra tam giác DCE cân ở D

Mà DO là đường cao

Nên DO là phân giác của \(\widehat {C{\rm{D}}E}\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{CD}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)

Xét ∆MOD và ∆BOD có

\(\widehat {{\rm{DMO}}} = \widehat {DBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OD là cạnh chung

\(\widehat {{\rm{MD}}O} = \widehat {O{\rm{DB}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra ∆MOD = ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó MD = BD, OM = OB

Mà OB = OA nên OM = OA

Xét ∆MOC và ∆AOC có

\(\widehat {{\rm{CMO}}} = \widehat {CAO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OC là cạnh chung

OM = OA (chứng minh trên)

Suy ra ∆MOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó MC = AC

Khi đó: \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)

Suy ra MN // AC (định lí Talet đảo)

Vậy MN // AC.