Câu hỏi:

05/07/2023 573

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a – b, v = a + b và viết các công thức nhận được.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 2. Công thức lượng giác có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Ta có: cos a cos b = \(\frac{1}{2}\)[cos(a – b) + cos(a + b)] (1);

sin a sin b = \(\frac{1}{2}\)[cos(a – b) – cos(a + b)] (2);

sin a cos b = \(\frac{1}{2}\)[sin(a – b) + sin(a + b)] (3).

Đặt u = a – b, v = a + b.

Ta có: u + v = (a – b) + (a + b) = 2a và u – v = (a – b) – (a + b) = – 2b.

Suy ra, \(a = \frac{{u + v}}{2},\,b = - \frac{{u - v}}{2}\).

Khi đó:

+) (1) trở thành \(\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u + \cos v} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\) (do \(\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \cos \frac{{u - v}}{2}\)).

+) (2) trở thành \(\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u - \cos v} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos u - \cos v = - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\) (do \(\sin \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = - \sin \frac{{u - v}}{2}\)).

+) (3) trở thành \(\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \left( { - \frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin u + \sin v} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:

a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);

b) sin a + cos a = \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos²a = 1 suy ra

cos a = \( - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = \(2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).

\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\).

\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}}}{{\frac{7}{9}}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\).

b) Ta có: (sin a + cos a)² = \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow 1 + \sin 2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2a = - \frac{3}{4}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\pi < 2a < \frac{{3\pi }}{2}\), do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin²(2a) + cos² (2a) = 1

Suy ra \(\cos 2a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {2a} \right)} = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).

Do đó, \(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{3}{{\sqrt 7 }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\).

Câu 2

Tính:

a) \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\), biết \(\sin a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);

b) \(\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\), biết \(\cos a = - \frac{1}{3}\) và \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos²a = 1 suy ra

cos a = \( - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Ta có: \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = \cos a\cos \frac{\pi }{6} - \sin a\sin \frac{\pi }{6}\)

\( = \left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} = \frac{{ - \sqrt 6 - 1}}{{2\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{6}\).

b) Vì \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\) nên sin a < 0, do đó \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} > 0\).

Mặt khác từ \(1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\)

Suy ra \(\tan a = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}}} - 1} = 2\sqrt 2 \).

Ta có: \(\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \frac{{\tan a - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan a\tan \frac{\pi }{4}}}\)\( = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{{1 + 2\sqrt 2 .1}} = \frac{{9 - 4\sqrt 2 }}{7}\).

Câu 3