Câu hỏi:

13/07/2024 38,108 Lưu

Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = \(\frac{1}{2}\)[cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= \(\frac{1}{2}\)[cos 2b – cos 2a] = \(\frac{1}{2}\)[(2cos2 b – 1) – (2cos2 a – 1)] = cos2 b – cos2 a.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos2 b – cos2 a (1).

Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin2 b) – (1 – 2sin2 a) = 2(sin2 a – sin2 b)

Do đó, \(\frac{1}{2}\)[cos 2b – cos 2a] = \(\frac{1}{2}\) . 2(sin2 a – sin2 b) = sin2 a – sin2 b.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b (2).

Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a (đpcm).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải:

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra

cos a = \( - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = \(2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).

\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\).

\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}}}{{\frac{7}{9}}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\).  

b) Ta có: (sin a + cos a)2 = \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow 1 + \sin 2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2a = - \frac{3}{4}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\pi < 2a < \frac{{3\pi }}{2}\), do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin2 (2a) + cos2 (2a) = 1

Suy ra \(\cos 2a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {2a} \right)} = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).

Do đó, \(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{3}{{\sqrt 7 }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\).

Lời giải

Lời giải:

Dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t)

Suy ra x(t) = \(2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)\) (cm).

Ta có: \(2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\)

\( = 2.2\cos \frac{{\left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\cos \frac{{\left( {\frac{\pi }{3}t + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\)

\( = 4\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\cos \frac{\pi }{4}\)\( = 4\cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\).

Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là \(x\left( t \right) = 2\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3}t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\) với biên độ \(A = 2\sqrt 2 \) và pha ban đầu là \(\varphi = - \frac{\pi }{{12}}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP