Câu hỏi:
13/07/2024 8,689Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 75^\circ \); \(\widehat C = 45^\circ \) và a = BC = 12 cm.
a) Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức
\(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\).
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải:
a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
Từ đó suy ra \(b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}}\).
Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)\( = \frac{1}{2}a.\frac{{a\sin B}}{{\sin A}}.\sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\).
Vậy \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\) (đpcm).
b) Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).
\( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 45^\circ } \right) = 60^\circ \).
Ta có: \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}\sin 75^\circ \sin 45^\circ }}{{2\sin 60^\circ }}\)
\( = \frac{{144.\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {75^\circ - 45^\circ } \right) - \cos \left( {75^\circ + 45^\circ } \right)} \right]}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}\)
\( = \frac{{72\left( {\cos 30^\circ - \cos 120^\circ } \right)}}{{\sqrt 3 }}\)\( = \frac{{72\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right)}}{{\sqrt 3 }} = 36 + 12\sqrt 3 \).
Vậy diện tích của tam giác ABC là \(S = 36 + 12\sqrt 3 \) (cm2).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải:
a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên cos a < 0.
Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cos a = \( - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = \(2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).
\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{7}{9}\).
\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}}}{{\frac{7}{9}}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\).
b) Ta có: (sin a + cos a)2 = \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow 1 + \sin 2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2a = - \frac{3}{4}\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\pi < 2a < \frac{{3\pi }}{2}\), do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin2 (2a) + cos2 (2a) = 1
Suy ra \(\cos 2a = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {2a} \right)} = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{3}{4}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).
Do đó, \(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{3}{{\sqrt 7 }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\).Lời giải
Lời giải:
a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên cos a < 0.
Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cos a = \( - \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có: \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = \cos a\cos \frac{\pi }{6} - \sin a\sin \frac{\pi }{6}\)
\( = \left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} = \frac{{ - \sqrt 6 - 1}}{{2\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{6}\).
b) Vì \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\) nên sin a < 0, do đó \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} > 0\).
Mặt khác từ \(1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\)
Suy ra \(\tan a = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}}} - 1} = 2\sqrt 2 \).
Ta có: \(\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \frac{{\tan a - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan a\tan \frac{\pi }{4}}}\)\( = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{{1 + 2\sqrt 2 .1}} = \frac{{9 - 4\sqrt 2 }}{7}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)
Bài tập Xác suất ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)
38 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Lôgarit có đáp án
12 câu Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án (Nhận biết)
Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P6)
10 Bài tập Biến cố hợp. Biến cố giao (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận