Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C' (C khác C'). Gọi D là giao điểm của AC' và (Q) (H.4.48).

a) Các cặp đường thẳng BD và CC', B'D và AA' có song song với nhau không?

b) Các tỉ số \(\frac{{AB}}{{BC}},\,\,\frac{{AD}}{{DC'}}\) và \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\) có bằng nhau không?

Lời giải:

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Khi đó ta có MN là đường trung bình của hình bình hành BCC'B', suy ra MN // BB' và MN = BB'.

Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác nên AA' // BB' và AA' = BB'.

Từ đó suy ra MN // AA' và MN = AA'. Do đó, AMNA' là hình bình hành.

Suy ra AM // A'N và AM = A'N.

Vì G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C' nên \(\frac{{A'G'}}{{A'N}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).

Do đó, AG = A'G' và AG // A'G'. Từ đó suy ra tứ giác AGG'A' là hình bình hành.

b) Vì tứ giác AGG'A' là hình bình hành nên AA' // GG'.

Tương tự ta chứng minh được CGG'C' là hình bình hành nên CC' // GG'.

Do đó, ba đường thẳng AA', GG' và CC' đôi một song song.

Lại có hai mặt phẳng (AGC) và (A'G'C') song song với nhau.

Vậy AGC.A'G'C' là hình lăng trụ tam giác.