Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB', CC'. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì hai mặt phẳng (P) và (Q) có thể cắt nhau theo giao tuyến b song song với đường thẳng a nằm trong (P).

b) Mệnh đề b) là mệnh đề sai vì thiếu điều kiện hai đường thẳng đó phải cắt nhau.

c) Mệnh đề c) là mệnh đề đúng vì (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba là mặt phẳng (R) thì (P) và (Q) song song với nhau.

d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai vì (P) và (Q) cắt (R) thì (P) và (Q) có thể cắt nhau.

Lời giải:

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Khi đó ta có MN là đường trung bình của hình bình hành BCC'B', suy ra MN // BB' và MN = BB'.

Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác nên AA' // BB' và AA' = BB'.

Từ đó suy ra MN // AA' và MN = AA'. Do đó, AMNA' là hình bình hành.

Suy ra AM // A'N và AM = A'N.

Vì G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C' nên \(\frac{{A'G'}}{{A'N}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).

Do đó, AG = A'G' và AG // A'G'. Từ đó suy ra tứ giác AGG'A' là hình bình hành.

b) Vì tứ giác AGG'A' là hình bình hành nên AA' // GG'.

Tương tự ta chứng minh được CGG'C' là hình bình hành nên CC' // GG'.

Do đó, ba đường thẳng AA', GG' và CC' đôi một song song.

Lại có hai mặt phẳng (AGC) và (A'G'C') song song với nhau.

Vậy AGC.A'G'C' là hình lăng trụ tam giác.