Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD và AB < CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:

a) (SAD) và (SBC);

b) (SAB) và (SCD);

c) (SAC) và (SBD).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng (SBD), SO cắt MN tại J.

Trong mặt phẳng (SAC), AJ cắt SC tại K. 

Vì J thuộc MN nên J thuộc mặt phẳng (AMN) nên K thuộc AJ thì K thuộc mặt phẳng (AMN). Do đó K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC.

Tam giác SBD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra MN // BD hay NJ // DO. Xét tam giác SDO có NJ // DO và N là trung điểm của SD nên suy ra J là trung điểm của SO.

Trong mặt phẳng (SAC), từ O kẻ OE song song với AK (E thuộc SC).

Xét tam giác SOE có JK // OE (do AK // OE), theo định lí Thalés ta có: \(\frac{{SK}}{{SE}} = \frac{{SJ}}{{SO}} = \frac{1}{2}\).

Do đó, K là trung điểm của SE.

Xét tam giác CAK có OE // AK, theo định lí Thalés ta có: \(\frac{{CE}}{{CK}} = \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}\). Do đó, E là trung điểm của CK.

Vậy SK = KE = CE, suy ra \(\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).

Lời giải:

a) Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AD và CD.

Vì G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD nên theo tính chất trọng tâm trong tam giác ta có S, G, H thẳng hàng, S, K, I thẳng hàng và \(\frac{{SG}}{{SH}} = \frac{1}{3};\,\,\frac{{SK}}{{SI}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác SHI có \(\frac{{SG}}{{SH}} = \frac{{SK}}{{SI}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), suy ra GK // HI (định lí Thalés).

Vì H thuộc AD nên H thuộc mặt phẳng (ABCD), vì I thuộc CD nên I thuộc mặt phẳng (ABCD). Do đó, mặt phẳng (ABCD) chứa đường thẳng HI.

Đường thẳng GK song song với đường thẳng HI và đường thẳng HI nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên GK // (ABCD).

b) Trong mặt phẳng (SAD), từ G kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SA, SD lần lượt tại M và F, suy ra MF // AD nên MF // (ABCD).

Trong mặt phẳng (SCD), nối F với K, đường thẳng FK cắt SC tại E.

Trong mặt phẳng (SBC), từ E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SB tại N.

Xét tam giác SHD có GF // HD (do MF // AD), theo định lí Thalés suy ra \(\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SH}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác SDI có \(\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SK}}{{SI}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), do đó FK // DI hay EF // DC, suy ra EF // (ABCD).

Vì MF // CD, NE // BC, AD // BC nên MF // NE, suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

Mặt phẳng (MNEF) chứa hai đường thẳng cắt nhau MF và EF cùng song song với mặt phẳng (ABCD). Do đó, hai mặt phẳng (MNEF) và (ABCD) song song với nhau.

Vì G thuộc MF nên G thuộc mặt phẳng (MNEF), vì K thuộc EF nên K thuộc mặt phẳng (MNEF).

Vậy mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F là mặt phẳng (MNEF).

Xét tam giác SAD có MF // AD nên \(\frac{{MF}}{{AD}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác SCD có EF // CD nên \(\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác SBC có NE // BC nên \(\frac{{NE}}{{BC}} = \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).

Do đó, \(\frac{{MF}}{{AD}} = \frac{{NE}}{{BC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), mà AD = BC (do ABCD là hình bình hành) nên MF = NE.

Xét tứ giác MNEF có MF = NE và MF // NE nên tứ giác MNEF là hình bình hành.