Câu hỏi:

12/07/2024 5,598

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 16. Giới hạn của hàm số có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 1 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Lại có: \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = \sqrt 1 + 1 = 2\).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} - 2}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 1 }} = - 2\).

b) Ta có: \(\sqrt {{x^2} + x + 2} - x = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} } \right)}^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)\( = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} + x}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2}\).

Câu 2

Tính các giới hạn một bên:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\), x – 1 > 0 với mọi x > 1 và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} \right) = 1 - 2 = - 1 < 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \infty \).

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {4 - x} \right) = 0\), 4 – x > 0 với mọi x < 4 và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = {4^2} - 4 + 1 = 13 > 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}} = + \infty \).

Câu 3

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\) và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức

\(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\),

trong đó m₀ là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

Tính các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\).

Tính các giới hạn một bên: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\).

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\) và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? a) f(x) = g(x); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Tính các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x}\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}}\).

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\).

Tính các giới hạn một bên:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\).

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\) và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}}\).