Câu hỏi:

13/07/2024 17,660

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y – 1 = 0 và hai điểm A(– 1; 2), B(– 3; 4).

a) Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆.

b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải:

a) Ta có: 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 ≠ 0 nên A(– 1; 2) không thuộc ∆.

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống ∆.

Vì H thuộc ∆ nên H(x; 2x – 1). Ta có: \(\overrightarrow {AH} = \left( {x + 1;\,2x - 3} \right)\), vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;\,2} \right)\).

Vì AH vuông góc với ∆ nên \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right).1 + \left( {2x - 3} \right).2 = 0\).

Từ đó suy ra x = 1 nên H(1; 1).

Vì A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆ nên AA' vuông góc với ∆ tại H và H là trung điểm của AA'. Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2.1 - \left( { - 1} \right) = 3\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2.1 - 2 = 0\end{array} \right.\]. Vậy A'(3; 0).

b)

Media VietJack

Ta có: 2 . (– 3) – 4 – 1 = – 11; 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 và (– 11) . (– 5) = 55 > 0 nên hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng ∆.

Vì M thuộc ∆ và A và A' đối xứng nhau qua ∆ nên MA = MA' và A' và B nằm về hai phía của đường thẳng ∆.

Do đó, MA + MB = MA' + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A'B và ∆.

Ta có: \(\overrightarrow {A'B} = \left( { - 6;\,4} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {{n_{A'B}}} = \left( {2;\,3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B. Phương trình đường thẳng A'B là 2(x – 3) + 3(y – 0) = 0 hay 2x + 3y – 6 = 0.

Tọa độ giao điểm M của A'B và ∆ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\2x + 3y - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{8}\\y = \frac{5}{4}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {\frac{9}{8};\,\frac{5}{4}} \right)\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải:

Ta có (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 hay x2 + y2 – 2 . 1 x – 2 . 2 y – 4 = 0.

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = \(\sqrt {{1^2} + {2^2} - \left( { - 4} \right)} = 3\).

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) nên I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) và R' = R = 3.

Vì I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A nên A là trung điểm của II'.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_A} - {x_I} = 2.3 - 1 = 5\\{y_{I'}} = 2{y_A} - {y_I} = 2.\left( { - 3} \right) - 2 = - 8\end{array} \right.\) nên I'(5; – 8).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

(x – 5)2 + [y – (– 8)]2 = 32 hay (x – 5)2 + (y + 8)2 = 9.

Lời giải

Lời giải:

Cách 1:

Lấy A(0; 5), B(1; 7) thuộc đường thẳng d.

Gọi A', B' tương ứng là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( { - 3;\,4} \right)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow u \,\,\)và \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow u \). Suy ra A'(– 3; 9) và B'(– 2; 11).

Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( { - 3;\,4} \right)\) nên hai điểm A', B' thuộc đường thẳng d'.

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1;\,2} \right)\), suy ra đường thẳng d' có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\, - 1} \right)\).

Phương trình đường thẳng d' là 2(x + 3) – (y – 9) = 0 hay 2x – y + 15 = 0.

Cách 2:

Gọi M(x; y) thuộc đường thẳng d và M'(x'; y') là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( { - 3;\,4} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - x = - 3\\y' - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 4\end{array} \right.\).

Ta có M thuộc ∆ 2x – y + 5 = 0 2(x' + 3) – (y' – 4) + 5 = 0 2x' – y' + 15 = 0. Do đó, M'(x'; y') thuộc đường thẳng có phương trình 2x – y + 15 = 0.

Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( { - 3;\,4} \right)\) nên M' thuộc đường thẳng d'.

Vậy phương trình đường thẳng d' là 2x – y + 15 = 0.