Câu hỏi:
13/07/2024 16,746
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y – 1 = 0 và hai điểm A(– 1; 2), B(– 3; 4).
a) Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆.
b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y – 1 = 0 và hai điểm A(– 1; 2), B(– 3; 4).
a) Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆.
b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) Ta có: 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 ≠ 0 nên A(– 1; 2) không thuộc ∆.
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống ∆.
Vì H thuộc ∆ nên H(x; 2x – 1). Ta có: \(\overrightarrow {AH} = \left( {x + 1;\,2x - 3} \right)\), vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;\,2} \right)\).
Vì AH vuông góc với ∆ nên \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right).1 + \left( {2x - 3} \right).2 = 0\).
Từ đó suy ra x = 1 nên H(1; 1).
Vì A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆ nên AA' vuông góc với ∆ tại H và H là trung điểm của AA'. Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2.1 - \left( { - 1} \right) = 3\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2.1 - 2 = 0\end{array} \right.\]. Vậy A'(3; 0).
b)
Ta có: 2 . (– 3) – 4 – 1 = – 11; 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 và (– 11) . (– 5) = 55 > 0 nên hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng ∆.
Vì M thuộc ∆ và A và A' đối xứng nhau qua ∆ nên MA = MA' và A' và B nằm về hai phía của đường thẳng ∆.
Do đó, MA + MB = MA' + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A'B và ∆.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B} = \left( { - 6;\,4} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {{n_{A'B}}} = \left( {2;\,3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B. Phương trình đường thẳng A'B là 2(x – 3) + 3(y – 0) = 0 hay 2x + 3y – 6 = 0.
Tọa độ giao điểm M của A'B và ∆ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\2x + 3y - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{8}\\y = \frac{5}{4}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {\frac{9}{8};\,\frac{5}{4}} \right)\).
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0. Viết phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3).
Xem đáp án »
12/07/2024
15,767
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( { - 3;\,4} \right)\).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,272
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9. Phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Viết phương trình đường tròn (C').
Xem đáp án »
13/07/2024
4,331
Câu 4:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABM tam giác AMN vuông cân tại M. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên nửa đường tròn thì điểm N luôn thuộc một nửa đường tròn cố định.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,402
Câu 5:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đỉnh B, C cố định còn đỉnh A thay đổi trên đường tròn đó. Vẽ hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng điểm D luôn thuộc một đường tròn cố định.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,293
Câu 6:
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho \(\overrightarrow {EF} \) không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.
Xem đáp án »
11/07/2023
799
🔥 Đề thi HOT:
-
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
-
Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)
-
10 Bài tập Biến cố hợp. Biến cố giao (có lời giải)
-
15 câu Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án (Nhận biết)
-
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản (P1)
-
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
-
38 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Lôgarit có đáp án
-
Bài tập Xác suất ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận