Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho \(\overrightarrow {EF} \) không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.
Câu hỏi trong đề: Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài tập cuối chuyên đề 1 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {EF} } \right| = m\) (m > 0) không đổi.
Đặt \(\overrightarrow u = \overrightarrow {EF} \) \(\left( {\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 } \right)\), \(\overrightarrow u \) không đổi, khi đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = m\) không đổi.
Gọi G là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ \( - \overrightarrow u \). Khi đó \(\overrightarrow {BG} = - \overrightarrow u \). Vì B cố định và \(\overrightarrow u \) không đổi nên G cố định. Gọi G' là ảnh của G qua phép đối xứng trục d thì G' cố định.
Gọi giao điểm của AG' và đường thẳng d là E, trên d lấy điểm F thỏa mãn EF = m và \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow u = - \overrightarrow {BG} \) hay \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {GB} \). Khi đó BGEF là hình bình hành nên BF = GE.
Mà G và G' đối xứng nhau qua d nên GE = G'E. Do đó BF = GE = G'E.
Ta có: AE + BF = AE + G'E = AG' (1).
Ta có E và F như trên là hai điểm cần tìm để AE + BF nhỏ nhất.
Thật vậy, gọi E' và F' là 2 điểm trên d, khác E và F sao cho \(\overrightarrow {E'F'} = \overrightarrow u \) và \(\left| {\overrightarrow {E'F'} } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = m\).
Ta có: AE' + BF' = AE' + GE' = AE' + G'E' > AG' (2) (bất đẳng thức trong tam giác AG'E').
Từ (1) và (2) suy ra AE + BF < AE' + BF'. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải:
Ta có (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 hay x2 + y2 – 2 . 1 x – 2 . 2 y – 4 = 0.
Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = \(\sqrt {{1^2} + {2^2} - \left( { - 4} \right)} = 3\).
Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) nên I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) và R' = R = 3.
Vì I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A nên A là trung điểm của II'.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_A} - {x_I} = 2.3 - 1 = 5\\{y_{I'}} = 2{y_A} - {y_I} = 2.\left( { - 3} \right) - 2 = - 8\end{array} \right.\) nên I'(5; – 8).
Vậy phương trình đường tròn (C') là
(x – 5)2 + [y – (– 8)]2 = 32 hay (x – 5)2 + (y + 8)2 = 9.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải:
a) Ta có: 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 ≠ 0 nên A(– 1; 2) không thuộc ∆.
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống ∆.
Vì H thuộc ∆ nên H(x; 2x – 1). Ta có: \(\overrightarrow {AH} = \left( {x + 1;\,2x - 3} \right)\), vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;\,2} \right)\).
Vì AH vuông góc với ∆ nên \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right).1 + \left( {2x - 3} \right).2 = 0\).
Từ đó suy ra x = 1 nên H(1; 1).
Vì A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆ nên AA' vuông góc với ∆ tại H và H là trung điểm của AA'. Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2.1 - \left( { - 1} \right) = 3\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2.1 - 2 = 0\end{array} \right.\]. Vậy A'(3; 0).
b)
Ta có: 2 . (– 3) – 4 – 1 = – 11; 2 . (– 1) – 2 – 1 = – 5 và (– 11) . (– 5) = 55 > 0 nên hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng ∆.
Vì M thuộc ∆ và A và A' đối xứng nhau qua ∆ nên MA = MA' và A' và B nằm về hai phía của đường thẳng ∆.
Do đó, MA + MB = MA' + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A'B và ∆.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B} = \left( { - 6;\,4} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {{n_{A'B}}} = \left( {2;\,3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B. Phương trình đường thẳng A'B là 2(x – 3) + 3(y – 0) = 0 hay 2x + 3y – 6 = 0.
Tọa độ giao điểm M của A'B và ∆ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\2x + 3y - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{8}\\y = \frac{5}{4}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {\frac{9}{8};\,\frac{5}{4}} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập