Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0 ;1], thỏa mãn f'(x)2=4⋅2x2+1−f(x) với mọi x thuộc đoạn [0;1] và f(1) = 2. Giá trị I=∫01xf(x)dx bằng A. 34 B. 53 C. 114 D. 43

Chọn A Ta có: f'(x)2=4⋅2x2+1−f(x) ⇔f'(x)2−4x.f'(x)+4x2=12x2+4−4x.f'(x)+f(x)⇔f'(x)−2x2=12x2+4−4[x.f(x)]'⇒∫01f'(x)−2x2dx=∫0112x2+4dx−4∫01x.f(x)'dx⇔∫01f'(x)−2x2dx=8−4x.fx01⇔∫01f'(x)−2x2dx=8−4.f(1)⇔∫01f'(x)−2x2dx=0⇒f'(x)=2x. Từ đó: f(x)=∫f'(x)dx=∫2xdx=x2+C mà f(1)=2⇒C=1 nên f(x)=x2+1. Vậy I=∫01x.f(x)dx=∫01xx2+1dx=34.

Câu hỏi:

22/07/2023 301

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0 ;1], thỏa mãn ${[f^{'} (x)]}^{2} = 4 \cdot [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0;1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{5}{3}$

C. $\frac{11}{4}$

D. $\frac{4}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A

Ta có: ${[f^{'} (x)]}^{2} = 4 \cdot [2 x^{2} + 1 - f (x)]$

$\Leftrightarrow {[f^{'} (x)]}^{2} - 4 x . f^{'} (x) + 4 x^{2} = 12 x^{2} + 4 - 4 [x . f^{'} (x) + f (x)] \Leftrightarrow {[f^{'} (x) - 2 x]}^{2} = 12 x^{2} + 4 - 4 {[x . f (x)]}^{'} \Rightarrow \int_{0}^{1} {[f^{'} (x) - 2 x]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (12 x^{2} + 4) d x - 4 \int_{0}^{1} {[x . f (x)]}^{'} d x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f^{'} (x) - 2 x]}^{2} d x = 8 - {4 (x . f (x))|}_{0}^{1} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f^{'} (x) - 2 x]}^{2} d x = 8 - 4. f (1) \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f^{'} (x) - 2 x]}^{2} d x = 0 \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x .$

Từ đó: $f (x) = \int f^{'} (x) d x = \int 2 x d x = x^{2} + C$ mà $f (1) = 2 \Rightarrow C = 1$ nên $f (x) = x^{2} + 1$ .

Vậy

I = \int_{0}^{1} x . f (x) d x = \int_{0}^{1} x (x^{2} + 1) d x = \frac{3}{4}

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD và G là trọng tâm tam giác SBD. Mặt phẳng (MNG) cắt SC tại điểm H. Tính $\frac{SH}{SC}$

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Lời giải

Chọn A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD và G là trọng tâm tam giác SBD. Mặt phẳng (MNG) cắt SC (ảnh 1)

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi $E = MN \cap AC$ . Trong mặt phẳng (SAC), gọi $H = EG \cap SC$ .

Ta có: $\{\begin{array}{l} H \in EG; EG \subset (MNG) \\ H \in SC \end{array} \Rightarrow H = SC \cap (MNG)$ .

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SG và SH .

Ta có $\{\begin{array}{l} IJ / / HG \\ IA / / GE \end{array} \Rightarrow$ A, I, J thẳng hàng. Xét $Δ ACJ$ có $EH//AJ \Rightarrow \frac{CH}{HJ} = \frac{CE}{EA} = 3 \Rightarrow CH = 3 HJ$ .

Lai có SH = 2HJ nên SC = 5HJ. Vậy

\frac{SH}{SC} = \frac{2}{5}

Câu 2

Tiến hành thí nghiệm theo các bước sau:

Bước 1: Cho vào cốc thủy tinh chịu nhiệt khoảng 5 gam mỡ lợn và 10 ml dung dịch NaOH 40%. Bước 2: Đun sôi nhẹ hỗn hợp, liên tục khuấy đều bằng đũa thủy tinh khoảng 30 phút và thỉnh thoảng thêm nước cất để giữ cho thể tích hỗn hợp không đổi. Để nguội hỗn hợp.

Bước 3: Rót thêm vào hỗn hợp 15-20 ml dung dịch NaCl bão hòa nóng, khuấy nhẹ sau đó giữ yên hỗn hợp.

Cho các phát biểu sau:

(a) Sau bước 3 thấy có lớp chất rắn màu trắng nổi lên là glixerol.

(b) Vai trò của dung dịch NaCl bão hòa ở bước 3 là để tách muối natri của axit béo ra khỏi hỗn hợp.

(c) Ở bước 2, nếu không thêm nước cất, hỗn hợp bị cạn khô thì phản ứng thủy phân không xảy ra.

(d) Ở bước 1, nếu thay mỡ lợn bằng dầu dừa thì hiện tượng thí nghiệm sau bước 3 vẫn xảy ra tương tự.

(e) Trong công nghiệp, phản ứng ở thí nghiệm trên được ứng dụng để sản xuất xà phòng và glixerol.

Số phát biểu đúng là

A. 4

B. 5

C. 3

D. 2

Lời giải

Chọn A.

Các phát biểu đúng là: (b), (c), (d), (e).

Phát biểu (a) không đúng vì chất rắn nổi lên là muối của natri với axit béo.

Câu 3

Cho hàm số f(x), hàm số y = f'(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Bã́t phương trình f(x) > 2x + m (m là tham sô thực) nghiệm đúng với mọi $x \in (0; 2)$ khi và chi khi

A. $m \leq f (2) - 4$

B. $m \leq f (0)$

C. $m < f (0)$

D. $m < f (2) - 4$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chiến thắng nào của quân dân miền Nam Việt Nam đã mở ra khả năng đánh bại chiến lược “Chiến tranh cục bộ” (1965 - 1968) của đế quốc Mĩ?

A. Chiến thắng Ấp Bắc

B. Chiến thắng Bình Giã

C. Chiến thắng Vạn Tường

D. Chiến thắng Núi Thành

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;3-1); N(-1;1) và P(1;m-1;2). Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.

A. m = -6

B. m = 0

C. m = -4

D. m = 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Hàm số $y = f (x^{2} + 4 x) - x^{2} - 4 x$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoàng (-5;1) ?

A. 5

B. 4

C. 6

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0 ;1], thỏa mãn f'(x)2=4⋅2x2+1−f(x) với mọi x thuộc đoạn [0;1] và f(1) = 2. Giá trị I=∫01xf(x)dx bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD và G là trọng tâm tam giác SBD. Mặt phẳng (MNG) cắt SC tại điểm H. Tính SHSC

Cho hàm số f(x), hàm số y = f'(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Bã́t phương trình f(x) > 2x + m (m là tham sô thực) nghiệm đúng với mọi x∈(0;2) khi và chi khi

Chiến thắng nào của quân dân miền Nam Việt Nam đã mở ra khả năng đánh bại chiến lược “Chiến tranh cục bộ” (1965 - 1968) của đế quốc Mĩ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;3-1); N(-1;1) và P(1;m-1;2). Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Hàm số y=fx2+4x−x2−4x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoàng (-5;1) ?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0 ;1], thỏa mãn ${[f^{'} (x)]}^{2} = 4 \cdot [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0;1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD và G là trọng tâm tam giác SBD. Mặt phẳng (MNG) cắt SC tại điểm H. Tính $\frac{SH}{SC}$

Cho hàm số f(x), hàm số y = f'(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Bã́t phương trình f(x) > 2x + m (m là tham sô thực) nghiệm đúng với mọi $x \in (0; 2)$ khi và chi khi

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Hàm số $y = f (x^{2} + 4 x) - x^{2} - 4 x$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoàng (-5;1) ?