Cho hàm số  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-2x}{x}khix\ne 0\\ akhix=0\end{array}\right.$. Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.

+) Với x₀ ∈ (0; 0,7) hàm số f(x) = 10 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0; 0,7).

+) Với x₀ ∈ (0,7; 20) hàm số f(x) = 10 000 + (x – 0,7).14 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0,7; 20).

+) Với x₀ ∈ (20; +∞) hàm số f(x) = 280 200 + (x – 20).12 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (20; +∞).

+) Tại x₀ = 0,7 ta có:

 $\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }10000=10000$;

 $\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }\left[10000+\left(x-0,7\right).14000\right]=10000$.

Suy ra  $\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }f\left(x\right)=10000$. Do đó tồn tại  $\underset{x\to 0,7}{\lim }f\left(x\right)=10000$.

Mà f(0,7) = 10 000 nên  $\underset{x\to 0,7}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0,7\right)=10000$.

Vì vậy hàm số liên tục tại x₀ = 0,7.

+) Tại x₀ = 20 ta có:

 $\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }\left[10000+\left(x-0,7\right).14000\right]=280200$.

 $\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }\left[280200+\left(x-20\right).12000\right]=280200$.

Suy ra  $\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=280200$. Do đó tồn tại  $\underset{x\to 20}{\lim }f\left(x\right)=280200$.

Mà f(20) = 280 200 nên  $\underset{x\to 20}{\lim }f\left(x\right)=f\left(20\right)=280200$.

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 20.

Vậy hàm số T(x) liên tục trên ℝ.

Ta có:

 $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\left(x-2\right)=-4$.

 $f(-2)=a$.

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = – 2

 $\iff \underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-2\right)$

 $\iff a=-4$

Vậy a = – 4 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.