Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N. Chứng minh DM + BN = MN.

(H.3.38). a) Tứ giác AMCP có NC = NA, NM = NP nên AMCP là hình bình hành vì hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) Hình bình hành AMCP là hình chữ nhật khi góc AMC là góc vuông. Góc AMC là góc vuông khi trung tuyến CM cũng là đường cao của tam giác ABC, tức là tam giác ABC cân tại C.

+) Hình bình hành AMCP là hình thoi khi và chỉ khi có hai cạnh kề bằng nhau AM = CM, tức là MC = MA = MC; khi đó tam giác CBA vuông tại C.

+) Từ hai phần trên, suy ra tứ giác AMCP là hình vuông khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại C.

(H.3.42). a) Xét hai tam giác PIN và MIQ có ${\widehat{I}}_1={\widehat{I}}_2$ (hai góc đối đỉnh), QI = IN, ${\widehat{N}}_1={\widehat{Q}}_1$ (do NP // QM)

⇒ ∆PIN = ∆MIQ (g.c.g)

⇒ QM = NP.

b) Tứ giác MNPQ có PN // MQ, QM = NP nên là hình bình hành.

Ta chứng minh MNPQ có hai đường chéo vuông góc.

Vì AQ ⊥ AN nên ${\widehat{A}}_1+\widehat{DAN}=90°,{\widehat{A}}_2+\widehat{DAN}=90°$$\Rightarrow {\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2.$

Xét hai tam giác vuông ADQ và ABN có AD = AB, ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2$ (chứng minh trên).

⇒ ∆ADQ = ∆ABN (cạnh góc vuông – góc nhọn)

⇒ AQ = AN.

Do đó tam giác AQN cân tại A, mà AI là đường trung tuyến của tam giác AQN

⇒ AI là đường cao của tam giác AQN, tức là AI ⊥ QN, hay PM ⊥ QN.

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo PM ⊥ QN nên là hình thoi.