Cho cấp số cộng (u_n) có số dạng đầu u₁, công sai d.

a) So sánh các tổng sau: u₁ + u_n; u₂ + u_n-1­; u₃ + u_n-2; ...; u_n + u₁.

b) Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n. So sánh n(u_n + u₁) với 2S_n.

Lời giải

+) Theo phương án 1: Gọi (u_n) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số (u_n) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 120 và công sai d = 18.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 120 + (n – 1).18.

+) Theo phương án 2: Gọi (v_n) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số (v_n) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v₁ = 24 và công sai d = 1,8.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là v_n = 24 + (n – 1).1,8.

a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u₃ = 120 + (3 – 1).18 = 156 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:

\({S_3} = \frac{{3.\left( {120 + 156} \right)}}{2} = 414\) (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u₁₂ = 24 + (12 – 1).1,8 = 43,8.

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:

\({S_{12}} = \frac{{12.\left( {24 + 43,8} \right)}}{2} = 406,8\) (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1.

b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u₁₀ = 120 + (10 – 1).18 = 282 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là:

\({S_{10}} = \frac{{10.\left( {120 + 282} \right)}}{2} = 2\,010\) (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u₄₀ = 24 + (40 – 1).1,8 = 94,2.

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là:

\({S_{12}} = \frac{{40.\left( {24 + 94,2} \right)}}{2} = 2\,\,364\) (triệu đồng).

Lời giải

a) Ta có: u_n+1 = 3 – 2(n + 1) = 3 – 2n – 2 = 1 – 2n

Suy ra u_n+1 – u_n = 1 – 2n – 3 + 3n = – 2.

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = – 2.

b) Ta có: u_n+1 = \(\frac{{3\left( {n + 1} \right) + 7}}{5} = \frac{{3n + 10}}{5}\)

Xét hiệu u_n+1 – u_n = \(\frac{{3n + 10}}{5} - \frac{{3n + 7}}{5} = \frac{3}{5}\)

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = \frac{3}{5}\).

c) Ta có: u_n+1 = 3ⁿ⁺¹ = 3.3ⁿ

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 3.3ⁿ – 3ⁿ = 2.3ⁿ với n ∈ ℕ*