Câu hỏi:

13/07/2024 628

Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:

GH // CD;

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 8 Cánh Diều Hình vuông có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề Chứng minh: GH // CD (ảnh 1)

Do ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = 90^\circ \)

Mà AE, BE, CF, DF lần lượt là các tia phân giác của các \(\widehat {BAD},\widehat {ABC},\widehat {BCD},\widehat {ADC}\)

Suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {EAB} = \widehat {ABE} = \widehat {EBC} = \widehat {BCF} = \widehat {FCD} = \widehat {CDF} = \widehat {FDA} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ {\rm{.\;}}\)

Xét ∆ADG có: \(\widehat {ADG} + \widehat {AGD} + \widehat {GAD} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AGD} = 180^\circ - \left( {\widehat {ADG} + \widehat {GAD}} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ \)

Do đó ∆ADG vuông cân tại G

Chứng minh tương tự các tam giác EAB, FCD, HBC đều là tam giác vuông cân.

Xét ∆GAD và ∆HBC có:

\(\widehat {GAD} = \widehat {GDA} = \widehat {HBC} = \widehat {HCB} = 45^\circ \), cạnh AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật)

Do đó ∆GAD = ∆HBC (g.c.g).

Suy ra GD = HC (hai cạnh tương ứng).

Mà FD = FC, suy ra FG = FH.

∆GFH có: \(\widehat {GFH} = 90^\circ \) và FG = FH

Do đó, tam giác FGH vuông cân tại F. Suy ra \(\widehat {FGH} = 45^\circ \).

Ta có: \(\widehat {FGH} = \widehat {CDF} = 45^\circ \) và \(\widehat {FGH},\widehat {CDF}\) nằm ở vị trí đồng vị nên GH // CD.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF và ADGH (Hình 26).

Chứng minh:

AC ⊥ HF.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \(\widehat {HAK} + \widehat {DAH} + \widehat {DAC} = \widehat {CAK} = 180^\circ \) và \(\widehat {DAH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HAK} + \widehat {DAC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {AHF} = \widehat {DAC}\) (vì DHAF = DADC chứng minh câu a), suy ra \(\widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 90^\circ \).

Trong tam giác AHK, ta có: \(\widehat {AKH} + \widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AKH} = 180^\circ - \left( {\widehat {HAK} + \widehat {AHF}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Vậy AK ⊥ HK hay AC ⊥ HF.

Câu 2

Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho BC = CK. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tia DC tại E. Gọi F là trung điểm của BE.

Chứng minh các tứ giác BOCF và BDKE đều là hình vuông.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC Chứng minh các tứ giác BOCF và BDKE đều là hình vuông (ảnh 1)

• Tứ giác ABCD là hình vuông suy ra \(\widehat {ACB} = 45^\circ ,OB = OC,\widehat {BOC} = \widehat {DOC} = 90^\circ \).

Do BE // AC suy ra \(\widehat {OBF} = \widehat {DOC}\) (hai góc đồng vị) và \(\widehat {CBE} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (hai góc so le trong).

Xét ∆DBC vuông tại C có: \(\widehat {CDB} + \widehat {CBD} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CDB} = 90^\circ - \widehat {CBD} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)

Xét ∆BCE vuông tại C có: \(\widehat {CBE} + \widehat {CEB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CBE} = 90^\circ - \widehat {CBE} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)

Do đó \(\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ \)

Tam giác BDE có: \(\widehat {DBE} = \widehat {DBC} + \widehat {CBE} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \) và \(\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ \)

Suy ra tam giác BDE vuông cân tại B nên BD = BE

Tam giác BCE vuông tại C có \(\widehat {CBE} = \widehat {CEB} = 45^\circ \), suy ra nên là tam giác vuông cân tại C. Do đó BC = EC

Xét ∆BCF và ∆ECF có:

BC = EC, BF = EF (do F là trung điểm của BE), cạnh CF chung

Do đó ∆BCF = ∆ECF (c.c.c). Suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {EFC} = 90^\circ \).

Tứ giác BOCF có \(\widehat {BOC} = \widehat {OBF} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) nên BOCF là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật BOCF có OB = OC nên BOCF là hình vuông.

• Ta có: BC = CD và BC = CE nên CD = CE.

Tứ giác BDKE có hai đường chéo BK và DE cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên BDKE là hình bình hành.

Hình bình hành BDKE có \(\widehat {DBE} = 90^\circ \) nên BDKE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật BDKE có BD = BE nên BDKE là hình vuông.

Câu 3