Câu hỏi:
13/07/2024 2,182
Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\).
Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\).
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì M là trung điểm BC nên: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\overrightarrow {HM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\end{array} \right.\)
Có: \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM} \)
\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\)(do AC vuông góc HB nên \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \])
\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {HB} \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {HC} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( { - \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {BC} } \right)\)
\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \left( { - \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\)
\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}B{C^2}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (O) (AB là các tiếp điểm và O nằm trong góc BMD.
a) Chứng minh: tứ giác AOBM nội tiếp và xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp.
b) Chứng minh: MA2 = MC.MD.
c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: 5 điểm M,A,O,I,B cùng nằm trên 1 đường tròn.
d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp.
e) Vẽ dây BE của (O) song song với CD. Chứng minh: 3 điểm E, I, A thẳng hàng.
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (O) (AB là các tiếp điểm và O nằm trong góc BMD.
a) Chứng minh: tứ giác AOBM nội tiếp và xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp.
b) Chứng minh: MA2 = MC.MD.
c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: 5 điểm M,A,O,I,B cùng nằm trên 1 đường tròn.
d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp.
e) Vẽ dây BE của (O) song song với CD. Chứng minh: 3 điểm E, I, A thẳng hàng.
Xem đáp án »
13/07/2024
18,068
Câu 2:
Hai bạn An và Hưng cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc 40)° để đến đích là điểm D. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi Hưng phải đi bao xa nữa để đến được đích?
Hai bạn An và Hưng cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc 40)° để đến đích là điểm D. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi Hưng phải đi bao xa nữa để đến được đích?
Xem đáp án »
13/07/2024
17,224
Câu 3:
Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 30 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng?
Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 30 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng?
Xem đáp án »
13/07/2024
13,477
Câu 4:
Số nghiệm của phương trình \(\frac{{\sin 3x}}{{\cos x + 1}} = 0\) thuộc đoạn [2π,4π] là bao nhiêu?
Số nghiệm của phương trình \(\frac{{\sin 3x}}{{\cos x + 1}} = 0\) thuộc đoạn [2π,4π] là bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
13,138
Câu 5:
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = mx3 − 2mx2 + (m − 2)x + 1 không có cực trị.
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = mx3 − 2mx2 + (m − 2)x + 1 không có cực trị.
Xem đáp án »
13/07/2024
11,579
Câu 7:
Cho tam giác ABC nhọn có BC = 3a và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = \(a\sqrt 3 \). Tính số đo góc \(\widehat A\).
Xem đáp án »
13/07/2024
7,836
về câu hỏi!