Câu hỏi:

19/08/2025 9,235

Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm BC. Chứng minh \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm BC. Chứng minh vecto MH. vecto MA (ảnh 1)

Vì M là trung điểm BC nên: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\overrightarrow {HM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\end{array} \right.\)

Có: \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM} \)

\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\)(do AC vuông góc HB nên \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \])

\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {HB} \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {HC} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left( { - \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \left( { - \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\)

\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}B{C^2}\).

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (O) (AB là các tiếp điểm và O nằm trong góc BMD.

a) Chứng minh: tứ giác AOBM nội tiếp và xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp.

b) Chứng minh: MA² = MC.MD.

c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: 5 điểm M,A,O,I,B cùng nằm trên 1 đường tròn.

d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp.
e) Vẽ dây BE của (O) song song với CD. Chứng minh: 3 điểm E, I, A thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (ảnh 1)

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

Tứ giác AOBM có \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

⇒ A, O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM.

⇒ AOBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tâm G là trung điểm OM

b. Vì MA là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Lại có \(\widehat M\)chung.

Do đó, ΔMAC ∽ ΔMDA(g.g)

⇒ \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\)

⇒ MA² = MC.MD.

c) Vì I là trung điểm CD ⇒ OI ⊥ CD

⇒ OI ⊥ MI

⇒ I thuộc đường tròn đường kính OM

⇒ I ∈ (G)

⇒ M, A, O, I, B ∈ (G).

d) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Nên MA = MB, MO là phân giác \[\widehat {AMB}\]

⇒ ΔMAB có MO vừa là phân giác vừa là đường cao.

⇒ MO ⊥ AB

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔAMO đường cao AH có:

⇒ MA² = MH.MO (kết hợp b)

⇒ MH.MO = MC.MD

⇒ \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

Xét ΔMCH và ΔMOD có:

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

\(\widehat M\)chung

Do đó, ΔMCH ∽ ΔMOD (c.g.c).

⇒ \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO} = \widehat {CDO}\)

⇒ CHOD nội tiếp

e) Gọi CD ∩ AB = F

⇒ \(\widehat {AFI} = \widehat {ABE}\) (vì CD // BE và hai góc ở vị trí đồng vị)

Ta có: A, M, B, O, I ∈ (G)

⇒ \(\widehat {AIC} = \widehat {AIM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}\)

⇒ \(\widehat {AIF} = \widehat {AEB}\)

⇒ ΔAIF ∽ ΔAEB (g.g).

⇒ \(\widehat {IAF} = \widehat {EAB} = \widehat {EAF}\)

⇒ A, I, E thẳng hàng.

Câu 2

Hai bạn An và Hưng cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc 40)° để đến đích là điểm D. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi Hưng phải đi bao xa nữa để đến được đích?

Xem đáp án

Lời giải

Xét △PAB:

AB² = AP² + BP² − 2.AP.BP.cos\(\widehat {APB}\) = 8² + 7² − 2.8.7.cos40° ≈ 27,2

Suy ra: AB ≈ 5,22 (km)

\(\cos \widehat {APB} = \frac{{P{A^2} + B{A^2} - P{B^2}}}{{2.PA.BA}} = \frac{{{8^2} + 5,{{22}^2} - {7^2}}}{{2.8.5,22}} \approx 0,51\)

Suy ra: \(\widehat {PAB} \approx 60^\circ \)

⇒ \(\widehat {BAD} \approx 100^\circ - 60^\circ = 40^\circ \)

Xét △ABD:

DB² = AD² + BA² − 2.DA.BA.cos\(\widehat {DAB}\) = 3² + 5,22² − 2.3.5,22.cos40° ≈ 12,26

⇒ DB ≈ 3,5 (km)

Vậy Hưng phải đi khoảng 3,5km nữa để đến được đích.

Câu 3