Câu hỏi:

13/07/2024 9,147

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC). Biết SB = \(2a\sqrt 3 \) và \(\widehat {SBC} = 30^\circ \). Tính khoảng cách từ B đến (SAC) theo a.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a. Mặt phẳng (ảnh 1)

Hạ HD ⊥ AC (D thuộc AC) và HK ⊥ SD (K thuộc SD), ta có:

HK ⊥ (SAC) suy ra: d(H;(SAC)) = HK

Trong tam giác SHD, ta có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{D^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}}\)

Suy ra: HK = \(\frac{{SH.HD}}{{\sqrt {S{H^2} + H{D^2}} }}\)

Hai tam giác ABC và HDC đồng dạng nên: \(\frac{{HD}}{{AB}} = \frac{{HC}}{{AC}}\)

⇔ HD = \(\frac{{AB\left( {BC - BH} \right)}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \frac{{3a\left( {4a - 3a} \right)}}{{\sqrt {9{a^2} + 16{a^2}} }} = \frac{{3a}}{5}\)

HK = \[\frac{{a\sqrt 3 .\frac{{3a}}{5}}}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{5}} \right)}^2}} }} = \frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}\]

\(\frac{{d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{BC}}{{HC}} = \frac{{4a}}{a} = 4\)

d(B,(SAC)) = 4d(H,(SAC)) = \[4.\frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}} = \frac{{6a\sqrt 7 }}{7}\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (O) (AB là các tiếp điểm và O nằm trong góc BMD.

a) Chứng minh: tứ giác AOBM nội tiếp và xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp.

b) Chứng minh: MA² = MC.MD.

c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: 5 điểm M,A,O,I,B cùng nằm trên 1 đường tròn.

d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp.
e) Vẽ dây BE của (O) song song với CD. Chứng minh: 3 điểm E, I, A thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (ảnh 1)

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

Tứ giác AOBM có \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

⇒ A, O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM.

⇒ AOBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tâm G là trung điểm OM

b. Vì MA là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Lại có \(\widehat M\)chung.

Do đó, ΔMAC ∽ ΔMDA(g.g)

⇒ \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\)

⇒ MA² = MC.MD.

c) Vì I là trung điểm CD ⇒ OI ⊥ CD

⇒ OI ⊥ MI

⇒ I thuộc đường tròn đường kính OM

⇒ I ∈ (G)

⇒ M, A, O, I, B ∈ (G).

d) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Nên MA = MB, MO là phân giác \[\widehat {AMB}\]

⇒ ΔMAB có MO vừa là phân giác vừa là đường cao.

⇒ MO ⊥ AB

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔAMO đường cao AH có:

⇒ MA² = MH.MO (kết hợp b)

⇒ MH.MO = MC.MD

⇒ \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

Xét ΔMCH và ΔMOD có:

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

\(\widehat M\)chung

Do đó, ΔMCH ∽ ΔMOD (c.g.c).

⇒ \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO} = \widehat {CDO}\)

⇒ CHOD nội tiếp

e) Gọi CD ∩ AB = F

⇒ \(\widehat {AFI} = \widehat {ABE}\) (vì CD // BE và hai góc ở vị trí đồng vị)

Ta có: A, M, B, O, I ∈ (G)

⇒ \(\widehat {AIC} = \widehat {AIM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}\)

⇒ \(\widehat {AIF} = \widehat {AEB}\)

⇒ ΔAIF ∽ ΔAEB (g.g).

⇒ \(\widehat {IAF} = \widehat {EAB} = \widehat {EAF}\)

⇒ A, I, E thẳng hàng.

Câu 2

Để đo chiều cao h của cổng parabol của trường ĐHBK Hà Nội, người ta đo khoảng cách giữa 2 chân cổng được L = 9 m, người ta thấy nếu đứng cách chân cổng 0,5 m thì đầu chạm cổng, biết người này cao 1,6 m. Tính chiều cao của cổng.

Xem đáp án

Lời giải

Để đo chiều cao h của cổng parabol của trường ĐHBK Hà Nội, người ta đo khoảng cách giữa (ảnh 1)

AB = 9m

AC = 0,5m

CD = 1,6m

Gọi O là trung điểm của A

Dựng hệ Oxy thỏa mãn A,B thuộc Ox và Oy ⊥ AB tại O

OB = \(\frac{9}{2}\), OC = \(\frac{9}{2} - 0,5 = 4\)

Cổng là (P) có phương trình dạng y = ax² + b

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}B = \left( {\frac{9}{2};0} \right) \in \left( P \right)\\D = \left( { - 4;1,6} \right) \in \left( P \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{9}{2}} \right)^2} + b\\1,6 = a.{\left( { - 4} \right)^2} + b\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 32}}{{85}}\\b = \frac{{648}}{{85}}\end{array} \right.\)

Tung độ ứng với hoành độ bằng 0 là y = a.0² + b = \(\frac{{648}}{{85}}\)

Vậy chiều cao của cổng Parabol là \(\frac{{648}}{{85}} \approx 7,6m.\)

Câu 3