Cho hình chữ nhật ABCD với AD < AB. Gọi E là điểm nằm trên đường chéo BD (0 < BE < ED). Vẽ điểm F đối xứng với điểm C qua điểm E. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của F trên các đường thẳng AD, AB. Gọi O là giao điểm của BD, AC. Chứng minh rằng:

1) Tứ giác FHAK là hình chữ nhật.

2) FA // BD.

3) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (O) (AB là các tiếp điểm và O nằm trong góc BMD.

a) Chứng minh: tứ giác AOBM nội tiếp và xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp.

b) Chứng minh: MA² = MC.MD.

c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: 5 điểm M,A,O,I,B cùng nằm trên 1 đường tròn.

d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp.

Hai bạn An và Hưng cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc 40)° để đến đích là điểm D. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi Hưng phải đi bao xa nữa để đến được đích?

Tìm nguyên hàm \(\int {\frac{1}{{\cos x}}dx} \).

Số nghiệm của phương trình \(\frac{{\sin 3x}}{{\cos x + 1}} = 0\) thuộc đoạn [2π,4π] là bao nhiêu?

Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 30 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng?

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(–1;1), B(1;3) và trọng tân là G\(\left( { - 2;\frac{2}{3}} \right)\). Tìm tọa độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.

Để đo chiều cao h của cổng parabol của trường ĐHBK Hà Nội, người ta đo khoảng cách giữa 2 chân cổng được L = 9 m, người ta thấy nếu đứng cách chân cổng 0,5 m thì đầu chạm cổng, biết người này cao 1,6 m. Tính chiều cao của cổng.