Câu hỏi:

15/08/2023 399

Cho \(\frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{4y - 3z}}{2}\). Chứng minh x : 2 = y : 3 = z : 4.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: \(\frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{4y - 3z}}{2}\)

Suy ra: \(\frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{8y - 6z}}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{8y - 6z}}{4} = \frac{{12x - 8y + 6z - 12x + 8y - 6z}}{{16 + 9 + 4}} = \frac{0}{{29}} = 0\)

Suy ra: 12x = 8y hay \[\frac{x}{8} = \frac{y}{{12}} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3}\left( 1 \right)\]

6z = 12x hay \[\frac{x}{6} = \frac{z}{{12}} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{z}{4}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) suy ra: \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}\] hay x : 2 = y : 3 = z : 4

Vậy x : 2 = y : 3 = z : 4.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (O) (AB là các tiếp điểm và O nằm trong góc BMD.

a) Chứng minh: tứ giác AOBM nội tiếp và xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp.

b) Chứng minh: MA² = MC.MD.

c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: 5 điểm M,A,O,I,B cùng nằm trên 1 đường tròn.

d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp.
e) Vẽ dây BE của (O) song song với CD. Chứng minh: 3 điểm E, I, A thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (ảnh 1)

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

Tứ giác AOBM có \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

⇒ A, O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM.

⇒ AOBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tâm G là trung điểm OM

b. Vì MA là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Lại có \(\widehat M\)chung.

Do đó, ΔMAC ∽ ΔMDA(g.g)

⇒ \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\)

⇒ MA² = MC.MD.

c) Vì I là trung điểm CD ⇒ OI ⊥ CD

⇒ OI ⊥ MI

⇒ I thuộc đường tròn đường kính OM

⇒ I ∈ (G)

⇒ M, A, O, I, B ∈ (G).

d) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Nên MA = MB, MO là phân giác \[\widehat {AMB}\]

⇒ ΔMAB có MO vừa là phân giác vừa là đường cao.

⇒ MO ⊥ AB

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔAMO đường cao AH có:

⇒ MA² = MH.MO (kết hợp b)

⇒ MH.MO = MC.MD

⇒ \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

Xét ΔMCH và ΔMOD có:

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

\(\widehat M\)chung

Do đó, ΔMCH ∽ ΔMOD (c.g.c).

⇒ \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO} = \widehat {CDO}\)

⇒ CHOD nội tiếp

e) Gọi CD ∩ AB = F

⇒ \(\widehat {AFI} = \widehat {ABE}\) (vì CD // BE và hai góc ở vị trí đồng vị)

Ta có: A, M, B, O, I ∈ (G)

⇒ \(\widehat {AIC} = \widehat {AIM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}\)

⇒ \(\widehat {AIF} = \widehat {AEB}\)

⇒ ΔAIF ∽ ΔAEB (g.g).

⇒ \(\widehat {IAF} = \widehat {EAB} = \widehat {EAF}\)

⇒ A, I, E thẳng hàng.

Câu 2

Để đo chiều cao h của cổng parabol của trường ĐHBK Hà Nội, người ta đo khoảng cách giữa 2 chân cổng được L = 9 m, người ta thấy nếu đứng cách chân cổng 0,5 m thì đầu chạm cổng, biết người này cao 1,6 m. Tính chiều cao của cổng.

Xem đáp án

Lời giải

Để đo chiều cao h của cổng parabol của trường ĐHBK Hà Nội, người ta đo khoảng cách giữa (ảnh 1)

AB = 9m

AC = 0,5m

CD = 1,6m

Gọi O là trung điểm của A

Dựng hệ Oxy thỏa mãn A,B thuộc Ox và Oy ⊥ AB tại O

OB = \(\frac{9}{2}\), OC = \(\frac{9}{2} - 0,5 = 4\)

Cổng là (P) có phương trình dạng y = ax² + b

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}B = \left( {\frac{9}{2};0} \right) \in \left( P \right)\\D = \left( { - 4;1,6} \right) \in \left( P \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{9}{2}} \right)^2} + b\\1,6 = a.{\left( { - 4} \right)^2} + b\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 32}}{{85}}\\b = \frac{{648}}{{85}}\end{array} \right.\)

Tung độ ứng với hoành độ bằng 0 là y = a.0² + b = \(\frac{{648}}{{85}}\)

Vậy chiều cao của cổng Parabol là \(\frac{{648}}{{85}} \approx 7,6m.\)

Câu 3