Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì

b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông.

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

Tứ giác AOBM có \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

⇒ A, O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM.

⇒ AOBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tâm G là trung điểm OM

b. Vì MA là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Lại có \(\widehat M\)chung.

Do đó, ΔMAC ∽ ΔMDA(g.g)

⇒ \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\)

⇒ MA² = MC.MD.

c) Vì I là trung điểm CD ⇒ OI ⊥ CD

⇒ OI ⊥ MI

⇒ I thuộc đường tròn đường kính OM

⇒ I ∈ (G)

⇒ M, A, O, I, B ∈ (G).

d) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Nên MA = MB, MO là phân giác \[\widehat {AMB}\]

⇒ ΔMAB có MO vừa là phân giác vừa là đường cao.

⇒ MO ⊥ AB

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔAMO đường cao AH có:

⇒ MA² = MH.MO (kết hợp b)

⇒ MH.MO = MC.MD

⇒ \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

Xét ΔMCH và ΔMOD có:

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

\(\widehat M\)chung

Do đó, ΔMCH ∽ ΔMOD (c.g.c).

⇒ \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO} = \widehat {CDO}\)

⇒ CHOD nội tiếp

e) Gọi CD ∩ AB = F

⇒ \(\widehat {AFI} = \widehat {ABE}\) (vì CD // BE và hai góc ở vị trí đồng vị)

Ta có: A, M, B, O, I ∈ (G)

⇒ \(\widehat {AIC} = \widehat {AIM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}\)

⇒ \(\widehat {AIF} = \widehat {AEB}\)

⇒ ΔAIF ∽ ΔAEB (g.g).

⇒ \(\widehat {IAF} = \widehat {EAB} = \widehat {EAF}\)

⇒ A, I, E thẳng hàng.